1樓：也疏寒
了解的不是很全面，但我想應用應該非常多。首先很重要的就是可解格點模型裡面，尤其是在Yang-Baxter方程裡面的應用，這幾乎是量子群的標準內容。這裡我想說一下在拓撲序和拓撲量子場論裡面的應用。
主要就舉幾個例子吧。
粗略來說，Hopf代數可以用來刻畫物理系統的對稱性，可以看成對稱性的群論刻畫的一種推廣。通常乙個物理系統的對稱性由群給出，但在研究量子相變的過程中，發現分數量子霍爾效應的有些相具有一樣的對稱性，但它們之間依然有相變，那就會有對Landau-Ginzburg的對稱性破缺理論的推廣的需求。這方面的研究現在很豐富，現在大家逐漸意識到張量範疇在這裡面扮演了很重要的角色。
而張量範疇和Hopf代數的關係非常緊密。所以整個拓撲序領域和Hopf代數的聯絡也很緊密。
在研究anyon condensation的早期文章裡面，將系統的對稱性由Hopf代數給出，在condensation過程Hopf symmetry的破缺有挺多的研究的。比如Bais等人的工作：
Hopf symmetry breaking and confinement in (2+1)-dimensional gauge theory
拓撲序的兩種非常系統的格點模型構造，Kitaev quantum doubel模型和string-net模型裡面Hopf algebra都扮演了很重要的角色。
在Kitaev quantum double裡面，Hopf代數非常重要。因為模型本身就是基於有限群 的quantum double ，這是quasi-triangular Hopf代數的乙個很典型的例子。Perimeter institute之前針對這個主題辦過乙個seminar：
Hopf Algebras in Kitaev's Quantum Double Models
在這方面的後續發展也很多。比如對於Hopf algebra gauge theory的研究。
Kitaev lattice models as a Hopf algebra gauge theory
Hopf algebra gauge theory on a ribbon graph
在string-net模型裡面，拓撲激發可以看成是tube algebra的不可約表示。而tube algebra本身是乙個weak Hopf algebra。利用這個關係可以證明拓撲激發實際上可以通過 -module範疇之間的函子來刻畫。
可以參考著名的Kitaev-Kong的文章：
也可看看我之前寫的專欄裡面的介紹文章：
也疏寒：拓撲序的邊界理論：代數理論框架
也疏寒：拓撲序的domain wall的代數理論
（先寫這些，後面了再補充。。。。
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