1樓：大臉阿望
對於線性代數/高等代數的課程結構來說，Jordan標準型部分通常會從"幾何意義"(即從線性空間和線性對映的角度)和 矩陣兩個角度出發。對於復矩陣而言，尋找Jordan標準型的目的是為了在相似這一等價關係下尋找形式簡單的代表元。對於復線性變換而言尋找Jordan標準型的意義就是尋找合適的基使得變換的表示陣形式簡單。
題主所述的一些概念之所以在該課程提出就是為了從「幾何意義」上尋找簡單的表示陣做鋪墊。
對於線性變換而言，找不變子空間的意義是最顯而易見的如果能將V分解成不變子空間的直和，那麼就可以找到一組基將線性變換表示為分塊對角矩陣。於是表示矩陣就能有乙個初步的化簡，這就引出了尋找簡單表示陣的第乙個想法——將V分解為不變子空間的直和。
，其餘全為0的矩陣。而特殊變換——冪零變換總是能將空間V分解為若干個強迴圈子空間的直和，而強迴圈子空間也是不變子空間，這麼一來這類變換總是可以擁有著及其簡潔的表示矩陣——一系列副對角線全為1，其餘全為0的矩陣組成的分塊對角陣，這就引出了尋找簡單表示矩陣的第二個想法——尋找和給定變換相關的冪零變換。
那麼由於柯西凱萊定理，線性變換f的特徵多項式為化零多項式，即 為0變換（其中 代表不同的特徵值及其重數,I代表恒等變換），那麼可以去猜測如果每個 的解空間 （這個稱為根子空間）的直和是V，這個猜測可以通過柯西凱萊定理證明。把變換 限制在 上就是個冪零變換（極小多項式中的次數實際上就是使為0變換的最小冪次）。那麼由於對冪零變換的研究就可以知道可分解為許多 的強迴圈子空間 的直積，於是f在每個 上的表示陣都為主對角線為 副對角線為1其餘為0的矩陣，這就是Jordan塊。
可以證明是f的不變子空間，於是f的表示陣就是Jordan塊的分塊對角陣。
2樓：sqsq101
對於域F上的線性空間V，同時也具有F[λ]模結構，所以(V,φ)（後者是V上的線性變換）和F[λ]模之間有集合的模之間有集合的雙射。線性變換的問題轉化為研究模，實際上是主理想整環上的有限生成撓模，它具有準素迴圈分解為準素迴圈模，相關的概念也就由此而出了。
手機上敲的不太清楚，後續再補點。
怎麼解釋 數域p上n維線性空間V的線性變換組成的線性空間是n 維？
我的直觀理解是這樣的。因為每個n維的線性變換 T V to V 與其表示矩陣 M 維度為 n times n 都是一一對應的。可以證明V裡的所有線性變換組成的線性空間與所有 n times n 的矩陣是同構的。這樣結論就很明顯了。具體證明可以參考Axler的Linear Algebra Done R...
如何求實數域上乙個線性變換的全部不變子空間？
If an linear transfornmation s matrix can be a Jordan block,then its invariant subspaces are finite,numbering where is the dimention of the space In o...
如何理解高等數學微分方程中的線性與齊次？
夫子 關於線性非線性問題，這篇 線性微分方程與非線性微分方程的區別是什麼？的1.3裡面寫的很清楚，滿足可加性和齊次性就是線性的。可加性 T A B T A T B 齊次性 T a A a T A T是一種運算，比如微分運算元D D的定義為 易證D是線性的，且D的組合也是線性的 線性其實就是微分運算元...