1樓：
能想到這一步說明題主還是蠻喜歡思考，此答案只給出直角座標系下的一般形式的旋轉體體積公式推導題主要是系統學過微積分應該是能完整推導出來
平面曲線 上介於 兩點間的曲線段繞同平面直線
旋轉所得旋轉體體積的一般積分公式為：
在直線 的任意一條垂線與曲線 至多有乙個交點的假定條件下，若 ，直線 與 軸的交點為 ，設直線 在座標系 上的傾斜角為 ，則 。接下來分四種情況
若 0," eeimg="1"/>則
若 0," eeimg="1"/>則
若 則若 則
在情形下，直線的傾斜角為一銳角或為零角，通過座標軸移軸、轉軸的復合變換
可使直線 與 軸重合。而在情形下，直線 的傾斜角 為一鈍角，通過變換
即也可使直線 與 軸重合
如圖 ，經過上述座標變換，設曲線 上 兩點所對應的 值分別為 ；所對應的 值分別為 。根據已有的已知截面面積 的幾何體體積公式
可知，兩點間的曲線段繞直線 旋轉所得的旋轉體體積為
其中為曲線上的點到軸的距離，也是點到直線的距離，即
在 情形的變換
而在 情形的變換下
以不同情形下的 的值分別代人，有
綜上有從而
若 直線 的方程為 即 。如圖，不難看到，曲線段繞直線旋轉所得的旋轉體的體積為
於是便可作為曲線 上 兩點間的曲線段繞直線 旋轉所得的旋轉體體積的一般積分公式。
特別地，若直線 為 軸，直線方程為 ，即
由以上公式有
而當直線 為 軸時，直線方程為 ，即
則有參閱：
[1]李生榴.旋轉體體積一般積分公式的座標變換法推導[J].數學學習與研究 ,2012 ,(005 ):113-114.
[2]姬小龍.計算旋轉體體積的一般積分公式[J].高等數學研究,2002,5(4):
11-13. DOI:10.
3969/j.issn.1008-1399.
2002.04.005.
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