1樓：愛幾何的傲夾夾
把原橢圓的兩個焦點按你的方式變換出去到A、B兩點然後對於橢圓上任意乙個點所變換到的P點，你用相似證明PA＋PB也是乙個定值2a，就首先證明了P軌跡也是橢圓。
並且這個定值2a與原來橢圓的定值有相似比例關係(由所給的兩個定角決定)，然後由於AB長度2c也與原來橢圓的焦距長度有同樣大小的比例關係，所以e＝a/c大小不變。
大概就是這麼個意思，圖中有三個手拉手的相似三角形。(很晚了隨便畫畫睡了)
2樓：Zeta Eta
這個問題很顯然，不證自明，因為你把橢圓換成任意圖形都成立。
相當於對圖形做了個均勻放縮(scaling)之後再旋轉乙個固定的角度(rotation)。以大學線性代數的角度來理解，就是在原始圖形的座標上做線性變換(乘個對角陣放縮，再乘個旋轉矩陣)。但是這個沒必要，理解這個命題只用初中的知識就夠了。
既然你固定了點D，又固定了∠D和∠E，那麼無論E怎麼變，構成的△DEF都是彼此相似的，所以|DF|和|DE|的比例顯然是固定的(換句話說，∠D固定的條件成立的情況下，∠E固定的條件，等價於|DF|和|DE|的比例固定，這應該是初中就教的吧，沒教的話那就用正弦定理理解好了)。
那麼，從E到F的變化過程就很明顯了：
先把線段DE按照固定比例放縮，再轉乙個角度(∠D)，E就跑到F去了。
那麼，對整個圖形也是如此。
第一步的放縮只會改變原始圖形的尺寸而不改變形狀，也就是說得到的中介圖形還是和原來相似的。
第二步的旋轉是剛體變換，保證圖形內部任意兩點的歐幾里得距離不變，那麼最終得到的圖形和中介圖形的形狀當然也就一致啦。
這個數論問題怎麼證明？
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