1樓：形瞳
證明過程基於幾何直覺，可能不是太嚴謹
首先用（強）數學歸納法證明兩個引理
引理1
n邊形至少有1條內對角線
證明：數學歸納法
時容易發現結論成立
假設 時成立，對於任意k邊形 任選其一頂點A，記與A相鄰的頂點為B和C
若對角線BC是內對角線則結論得證
若不是內對角線，則去掉A並以BC為一邊形成的新多邊形是k-1邊形記為 ，由歸納假設得其存在一條內對角線記該對角線兩頂點為D,E（D,E可能是B,C，但不會都是）
若對角線DE是的內對角線則結論得證
若不是其內對角線，則以關於直線DE與A在平面同側的的頂點（一定存在）和D,A,E形成的新多邊形記為 （DA和AE為其邊，其邊數小於k大於3），由歸納假設得存在一條內對角線，容易發現該對角線也是的內對角線
綜上由歸納法引理得證
引理2
n邊形至少有n-3條內對角線
證明：數學歸納法
時顯然成立
假設 時成立，對於任意k邊形 任選其一內對角線AB（由引理1保證可以取到）則的頂點（除A,B外）被直線AB分為平面上兩側為兩部分，記一側頂點數為m則另一側頂點數為k-2-m，注意這兩個頂點數都不為0
一側以m個頂點和A,B形成新多邊形記為（邊數為m+2）
另一側以k-2-m個頂點和A,B形成新多邊形記為（邊數為k-m）
由歸納假設得至少存在m-1條內對角線，這些對角線也是的內對角線
以及至少存在k-m-3條內對角線，這些對角線也是的內對角線
於是至少有 條內對角線
由歸納法引理得證
接下來開始命題的證明
證明充分性
數學歸納法
時顯然成立
假設 時成立，對於任意k邊形 任選其一內對角線AB（由引理1保證可以取到）則的頂點（除A,B外）被直線AB分為平面上兩側為兩部分，記一側頂點數為m則另一側頂點數為k-2-m，注意這兩個頂點數都不為0
一側以m個頂點和A,B形成新多邊形記為（邊數為m+2）
另一側以k-2-m個頂點和A,B形成新多邊形記為（邊數為k-m）
由歸納假設得恰好存在m-1條內對角線，這些對角線也是的內對角線
以及恰好存在k-m-3條內對角線，這些對角線也是的內對角線
並且容易發現只有上述的這些內對角線
於是恰好有 條內對角線
由歸納法充分性得證
必要性數學歸納法
時顯然成立
假設 時成立，對於任意k邊形 任選其一內對角線AB（由引理1保證可以取到）則的頂點（除A,B外）被直線AB分為平面上兩側為兩部分，記一側頂點數為m則另一側頂點數為k-2-m，注意這兩個頂點數都不為0
一側以m個頂點和A,B形成新多邊形記為（邊數為m+2）
另一側以k-2-m個頂點和A,B形成新多邊形記為（邊數為k-m）
由引理2得至少存在m-1條內對角線，這些對角線也是的內對角線
以及至少存在k-m-3條內對角線，這些對角線也是的內對角線
由於恰好有 條內對角線
故恰好存在m-1條內對角線，這些對角線也是的內對角線
以及恰好存在k-m-3條內對角線，這些對角線也是的內對角線
顯然這m-1條內對角線與k-m-3條內對角線以及AB互不相交
又由歸納假設得上述的m-1條內對角線兩兩不相交，上述的k-m-3條內對角線兩兩不相交
故的k-3條內對角線兩兩不相交
由歸納法必要性得證証畢
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