1樓：CC-ss
提供乙個不一樣的角度：為了推廣。
一些簡單的問題，其研究物件往往具有很多良好的性質，並具有很高的幾何直觀——確實，對於這種問題，「正常人拿眼睛一瞪，就應該能確信那是正確的」。但是，數學家在對這種問題進行嚴格證明的時候，往往會發現，儘管這個研究物件有一百條好的性質，(也正是因為它有這麼多好性質才使得有關它的某個定理具有良好的幾何直觀，)但是，證明某個定理A的時候，我們只用到了其中的三條性質。於是，數學家就得到了：
一旦乙個物件具有了這三條性質，就有定理A成立。現在，數學家準備研究乙個新的問題。這個問題沒有之前那麼高的幾何直觀，你也一眼看不出什麼答案，但恰巧這玩意具有了那三條性質，於是數學家就可以仿照之前證明「簡單但有很強幾何直觀的問題」的思路，去證明這個「難且沒有幾何直觀的問題」。
舉個例子。
//考慮到能提出這個問題，題主應該不是數學系的，所以我盡量用簡單而非專業的詞彙來說明問題。
有這樣乙個幾何上還比較能接受的直觀的事實：你在三維空間中隨便放兩個不相交的實心幾何體。只要這兩個幾何體是凸的(也就是說表面沒有凹陷，例如長方體、球體都是凸的，但是碗、杯子這種就不是)，那你就能找到乙個平面把這兩個幾何體分開。
也就是說，讓這兩個幾何體分別位於這個平面的兩側。
很直觀，是吧。的確，如果你要在三維中應用這個結論，你大可不必給出嚴格的證明，相信你的證明也能說服很多人(雖然說服不了職業的數學家)。
但是，當數學家嘗試給出這個問題的證明的時候，數學家發現，導致「存在乙個平面分開兩個凸幾何體」其實只需要一些性質就夠了。數學上，把具有這些性質的物件稱作Banach空間。所以剛才的命題可以這麼敘述：
因為我們生活的三維空間是乙個Banach空間，所以任給兩個不相交的凸幾何體，一定能找到乙個平面分開它們。
我們生活的三維空間太好想象了，以至於這種良好的幾何直觀讓人覺得這個定理沒什麼大不了的。但是，神奇的是，一些其它的集合也可能是乙個Banach空間——例如，全體連續函式構成的集合，它就是乙個Banach空間。這次，你不要再告訴我你對「全體連續函式構成的集合」有乙個幾何直觀了吧。
但是，因為我們對三維空間的情形作了嚴格的證明，對它稍加修改，就可以應用到「連續函式全體」上去。而這個命題，就已經是乙個不顯然，且十分深刻的東西了。
事實上，剛才我說的那個定理，數學上叫做Hahn-Banach定理，它是泛函分析最基礎也是最核心的定理之一。把它應用在我們生活的三維空間上，得到的是乙個「具有幾何直觀，還蠻顯然」的結論，但把它應用在別的什麼東西上，則可能十分不平凡。
其實數學中很多東西都是這樣：我們從乙個簡單直觀的東西提出猜想，利用它的良好特性給出證明，再把證明用在複雜不直觀的東西上。所謂醉翁之意不在酒，對幾何直觀強的東西給出證明，有時恰恰是為了解決幾何直觀弱的問題呀。
2樓：Trueman
古典幾何直覺公理可以被集合論構造出乙個同構對應。直覺上不好證明的，在集合論中可以被證明。直覺被拋棄，集合模型成了研究物件，然後結論可以對應回直覺中。
符號化公理化邏輯化。
直覺是被建模的，建模就是構造同構對映。用另一種東西來研究直覺。
很無聊。但這樣做是哲學本體被拋棄的原因。人們唯一能做的就是構造同構，用機械化的符號邏輯。
不能從事應用則必然會走上這種牛角尖道路。
3樓：Ethan Cheng
因為數學大廈不是建立在幾何之上的。
不過這只是在說當下的數學。畢竟集合這個概念也只是一百多年前才提出的。
數學家需要預先挑選一些定義，命題和推理規則，作為預先設定的公理，就像是「起點」，然後利用它們匯出其餘結論。現在的數學體系使用集合論和數理邏輯作為起點。至於選擇幾何作為出發點的數學，也有，古希臘就是這麼玩的。
《幾何原本》就是寫這個的，大家可以去賞析一下～
不過這種方法的缺點顯而易見。古希臘人要建起代數和算數結構就相當費勁了。畢達哥拉斯甚至因為根號2是不是數這個問題，而乾掉了他的乙個學生，不愧是引發了第一次數學危機的男人()
總之，現在的數學不這麼處理問題就是了。可能老師提醒過你，「用幾何性質證明」不是證明。
（當然幾何性質也不是沒有意義的。可以當個Remark～）
上面這個是技術問題。
另外還有乙個學習方法上的問題，就是不能對自己的直覺太過自信。
當然，人人都喜歡歐氏空間，喜歡連續，連續可微，光滑甚至解析的函式。性質好得一塌糊塗。
可問題是，怎麼可能一直天上掉餡餅呢？
比方說，微積分裡典型的「廢話」，介值定理，大概就是乙個連續函式 ，則任意 ，肯定存在一點 ，使得 。行，可以，這乍一看就是天然的成立的。問題是這是在溫室裡，在歐式空間裡。
那在別的空間呢？給乙個抽象的拓撲空間，這個定理長啥樣？或者說還成不成立？
什麼時候成立？
另外還有乙個「廢話」，最值定理，還是乙個連續函式 ，那肯定存在 ，使得 ， 。很廢話，是不是？那還是老問題，在一般的拓撲空間裡它長啥樣？
另外這兩個定理還談到了函式的「連續」這個概念。那什麼是連續？當然如果你高數學的好，那 語言肯定就是張口就來了。
那一般的集合上定義的某個對映，能談「連續」嗎？一堆散點上定義的函式可以「連續」嗎？
有人可能會問，幹嘛非要跳出歐式空間？有必要嗎？emm...
從某種意義上是挺沒必要的。雖然這個宇宙的時空可能是彎曲的，但至少我們的感知範圍內它「幾乎」就是個歐式空間。但是，數學還是有自己的初心的...
就不描述了，我一介理科生，語文造詣不行。總之就是情懷吧~只可意會，不可言傳
比如在情懷的鼓勵下，我們認識到了上面第乙個定理本質上在說閉區間的連通性，第二個在說緊緻性。
不過，回過頭來，回到歐式空間，事情也沒大家想得那麼美好... 比如，什麼是面積？什麼是維數？
當然如果你學過實變，你就會明白Vitali集是沒有「面積」的（不是面積是0，也不是面積無窮大算不過來，是真的「不存在」），也會明白為什麼雪花邊的維數不是整數。導數幾乎處處為0的函式可以不是常數，有處處連續處處不可導的函式...
總之等你回過神來，你才發現看似很乖的歐式空間其實是很皮的。（不說了，正為實變期末而發愁）
最後想粗淺地介紹一下數學是怎麼引出大家都知道的那些定理結論的。
就從集合論出發吧。集合大概是少有的數學家承認的不加定義的概念。因為真的太基本了。
公理集合論建立起了一系列概念：並集交集等集合運算，對映，函式，等勢等定義。特別地，定義出了自然數集。
再從自然數定義出整數，整數定義出有理數，有理數定義出實數，blabla
上面的流程可能需要一些特殊的結構作為輔助…集合上可以建立起代數結構，拓撲結構，序結構，度量結構，線性結構，blabla
注意：上面這些東西的匯出完全沒有用超出集合論能推導的範圍之外的概念（其實後面也不會用）
然後才有了我們如今熟悉的繽紛的數學世界：算數與數論，線性代數，拓撲空間，人人都喜愛的歐氏空間，點線面，群環域，微積分blabla
然後終於到咱們課本裡那些東西：介值定理，中值定理，還有其它一些看起來很像廢話的結論。
為了接納它們，數學走過了一段漫長的道路。所以說，為什麼要把走過的階梯拆了？
建築行業質量經常出現許多問題，為什麼沒有出現類似船級社這種檢驗機構？
應初棠 我所在單位現在有所謂的第三方檢測，從各方面進行檢查評估。包括場地布置 建築物構築物質量觀感 安全 文明施工等等很細很細。這個第三方是開發商高層僱傭第三方檢測機構對下面在建專案進行檢查評估，所以理論上也是比甲方級別高。 因為建築的設計建造沒有完全統一標準的做法，也不存在東西南北國內外通用的方式...
為什麼許多家長很看重孩子「見人打招呼」的問題呢？
Singo 因為見了熟人需要打招呼 咋不問父母為啥教孩子說話呢？生存需要唄。展開了說，首先如果父母本身就是熱情洋溢的人，見人就會熱情的打招呼，那麼孩子根本不需要父母去教著打招呼，孩子會自然模仿父母，也會見人熱情洋溢。所以大多數情況下，是父母可能自身比較內向，並不擅長社交，而中國父母又素來對子女有高於...
為什麼知乎很多問題沒有人回答？
已登出 1.你的興趣愛好非常另類，你的問題無法引起大多數人的興趣。2.你的問題缺少技術含量 圖樣圖森破，人家懶得回答。3.你的問題太深奧，大多數人都回答不了。4.你的問題太犀利 角度太刁鑽，即便是專家也很難回答。5.你的問題本來就是偽命題，不構成提問。 明明是乙個對知乎應用平台功能以及客戶體驗的質疑...