1樓：陪你看每乙個日出
看了其他答主的做法，就是需要證明乙個一般性的恒等式；
分享乙個比較硬核但是易懂的方法，只用到最基本的和差化積和積化和差以及泰勒級數裡面最基本的內容，基本上用不到比較高階的公式和結論，復變函式的核心內容也不涉及。
容易得到：
博雅：北京大學2023年數學分析試題及解答
原題的 ，這個鏈結裡面提供的方法是構造泰勒展開式係數的遞推關係，得到：
注意這裡的 的遞推式就很像最高贊答主提到的切比雪夫多項式了。仔細對比可以發現我們得到的係數其實就是第二類切比雪夫多項式的一種表示式。
回到我們的問題， 的泰勒展開式展開寫就是：
從而得到
兩式相減，並利用和差化積公式
得到函式
（注意這個展開式的係數也是和第一類切比雪夫多項式一致的）
現在將 取 ，並對k從1到n求和（注意這裡n是有限數），就能得到需要求的函式
對於此函式冪級數展開式式中的係數 ，有
，即 若m是n的正整數倍，即存在正整數p使得m=pn，那麼
，也即若m不是n的正整數倍，那麼利用積化和差可以得到
（這個性質很常用，等分360度角的三角函式之和為0。另外一般情況下三角函式裡面是等差數列這種的求和，在原式兩邊乘以公差一半的某個三角函式就可以裂項相消）
所以當 時，
那麼當 1" eeimg="1"/>時, ,而且注意到
所以此時仍然有
這樣就證明了對於任意的 ， ,
進而得到最終結果：
2樓：Black Feather
不請自來...
在圖書館刷知乎看見這個題，手頭沒有電腦，只好手寫拍一下了，見諒...
（其實是前兩天覆習
數理方法正好看見類似的形式）
3樓：「已登出」
我們可以證明乙個更一般的恒等式
然後取a＝2化簡即證題主所求
zhuanlan /p/64262805
4樓：譞譞
考慮 ,其中
對於 ,令 ,那麼 的根與 相同
故 令 ,則 ,這裡 是第一類切比雪夫多項式我們再把切比雪夫多項式延拓到 1" eeimg="1"/>上：
則 因此
故 Q.E.D
請問下面這個不等式如何證明？
順數人 證明不等式證明 用數學歸納法.當 時 成立,設不等式 對 成立,即 然後考慮左側不等式 left frac right cdot n frac frac cdot mathrm frac left frac right left frac right end eeimg 1 再考慮右側不等式...
請問這個函式不等式如何證明？
陪你看每乙個日出 在 上，原不等式等價於證明 當x 1時，等價於證明 0 eeimg 1 實際上做變數替換 易知兩者實際上是等價的，所以只用證明 時成立即可。只需要證明下面式子 對 和y 1成立即可 實際上 表示一支雙曲線方程，經過配方後得到 考慮雙曲線的引數方程形式，做三角換元，令 和 其中 不寫...
請問這個積分不等式如何證明
nh3527 法一 由於 連續可微且 故我們可以得到 又因為 所以我們有 下面我們證明上式的不等號嚴格成立.利用反證法,假設有 成立，那麼我們有 與 成立,即 與 成立.由於 不恒為 故存在 使得 因此我們有 與 成立,又 連續,故在區間 和 上不變號,即 在區間 和 上分別單調,因此 在區間 上至...