1樓：fighting
對任意非負實數 和 有
於是，得
一般地，假設 為 個非負實數，它們的算術平均值記為
幾何平均值記為
算術平均值與幾何平均值有如下的關係
即 當且僅當 時，等號成立.
上述不等式稱為平均值不等式，或簡稱為均值不等式.
證法一（歸納法）
當 時，已知結論成立.
假設對 (正整數 )時命題成立，即對於 0,i=1,2,\cdots,k," eeimg="1"/>有
那麼，當 時，由於
關於 是對稱的，任意對調 與 和 的值不改變，因此不妨設 顯然 以及
即 對 個正數 由歸納假設，得
而於是兩邊乘以 得
從而，有
直接驗證可知，當且僅當所有的 相等時等號成立，故命題成立.
證法二（歸納法，與證法一的不同處理）
當 時，已知結論成立.
假設對 (正整數 )時命題成立，即對於 0,i=1,2,\cdots,k," eeimg="1"/>有
那麼，當 時，
於是 不難看出，當且僅當所有的 相等時等號成立，故命題成立.
證法三（歸納法，另一種處理方式）
當 時，已知結論成立.
假設對 (正整數 )時命題成立，即對於 0,i=1,2,\cdots,k," eeimg="1"/>有
那麼，當 時，
所以 故得
證法四（歸納法和變換）
在證明原命題之前，首先令
其中 則 0\right)," eeimg="1"/>且平均值不等式等價於
即在條件 0\right)" eeimg="1"/>之下，證明
我們用歸納法證明上述不等式.
當 時， 顯然成立.
假設當 時不等式成立，則對於 由於 0\right)," eeimg="1"/>那麼 中必有大於或等於 者，也有小於或等於 者，不妨設 並令 則 從而由歸納假設，得
於是 不難看出，當且僅當所有的 從而 時，等號成立.
故當 時，命題也成立.
證法五（歸納法和二項展開式）
當 時，已知結論成立.
假設對 (正整數 )時命題成立，即對於 0,i=1,2,\cdots,k," eeimg="1"/>有
那麼，當 時，不妨假設 於是由歸納假設，得
從而，得
所以 不難看出，當且僅當所有的 相等時等號成立，故命題成立.
證法六（倒向歸納法）
倒向歸納法，也稱「留空回填法」. 基本思想是先對自然數的乙個子列 證明命題成立，然後再回過來證明 相應的命題成立.
首先證明當 為正整數 時，平均值不等式成立. 為此，對 用數學歸納法.
當 時，顯然有
假設當 時命題成立，則當 時，
所以對於具有 形式的正整數 平均值不等式成立，即對無窮多個正整數 平均值不等式成立.
現假設 時，平均值不等式成立. 當 時， 則由假設，得
所以 也就是說當 時命題也成立.
綜上可知，對一切正整數 ，平均值不等式成立. 不難看出，當且僅當所有的 相等時等號成立，故命題成立.
證法七（利用排序不等式）
為了利用與上面不同的方法證明平均值不等式，我們首先介紹和證明另乙個重要的結論，即排序不等式.
引理1（排序不等式）設兩個實陣列 和 滿足
則 其中是 的乙個排列，並且等號同時成立的充要條件是 或 成立.
證明令 若 且假設此時 所在的項是 則由 得
也就是說， 時，調換 中 與 的位置，其餘都不動，則得到 項，並使 變為 且 用同樣的方法，可以再得到 項，並使 變為 且
繼續這個過程，至多經過 次調換，得 故
同樣可以證明
顯然當或 時，兩個等號同時成立. 反之，若 及 中的數都不全相同時，則必有 於是 a_1b_n+a_nb_1," eeimg="1"/>且 從而有 a_1b_n+a_2b_+\cdots+a_nb_1." eeimg="1"/>故這兩個等式中至少有乙個不成立.
現在，利用引理1證明平均值不等式.
令 由排序不等式，得
所以 顯然當 時， 若 不全相等，不妨設 令 則 且
故 時必有 反之亦然.
注我們可類似於證法四，由 令
則 0\right)," eeimg="1"/>且平均值不等式等價於
下面利用排序不等式證明這個不等式.
任取 0," eeimg="1"/>再取 0," eeimg="1"/>使得 再取 0," eeimg="1"/>使得 最後取 0," eeimg="1"/>使得 所以
由引理1，得
當且僅當 時等號成立，從而當且僅當 時等號成立，所以當且僅當 時等號成立.
證法八（調整法）
首先，如果 那麼必有 下設這些數不全等，不妨設 則 令 並記 則 且由於
0,\end\\" eeimg="1"/>
則 如果 則命題成立. 若不全等，則必有最大和最小者，而且它們都不等於 仿照上面作法，可以得到 這組數中，有兩個數為 且 如果 那麼 從而 如果 仍然不全相等，再按上述方法，進行第三次變換，所得到的新的陣列中必有 個數都為 這樣下去，一定存在某個數 使得
從而得 且只要 不全相等，必有 G_n." eeimg="1"/>故命題成立.
證法九（歸納法和輔助命題）
先證明乙個引理.
引理2假設 為正實數， 為正整數，則
證明由於 與 同序，所以
於是 故引理2成立. 現在，我們利用引理2和數學歸納法證明平均值不等式.
當 時，已知結論成立.
假設對 (正整數 )時命題成立，即對於 0,i=1,2,\cdots,k," eeimg="1"/>有
那麼，當 時，令 則由歸納假設和引理2，得
不難看出，當且僅當所有的 相等時等號成立，故命題成立.
證法十（構造數列）
令 如果能證明 關於 是單調遞增的，即
那麼，由 得到 則平均值不等式成立.
現在，證明 的單調性.
同證法九，設 則由引理2，得
這表明另外，由於 則對任意 得
不難看出，當且僅當所有的 相等時等號成立，故平均值不等式成立.
證法十一（利用輔助命題）
為了證明平均值不等式，首先證明另乙個不等式，即
引理3如果 且 則
當且僅當 時等號成立.
證明因為 則
所以 即
當且僅當 時等號成立.
所以現在利用引理3證明平均值不等式.
不妨假設 由 則 0(k=2,3,\cdots,n)," eeimg="1"/>且 由引理3，得
即 當且僅當 即 時等號成立.
證法十二（函式方法）
引理4如果函式 滿足
\frac,x,y\in(a,b),x\neq y,\\" eeimg="1"/>
那麼其中 當且僅當 時等號成立.
證明對 用歸納法.
當 時，結論顯然成立.
設當 時結論成立. 對於 有
並記 則
所以即當 時，結論仍成立. 故引理4得證.
我們稱滿足引理4條件的函式為下凸函式（可以證明，如果函式 二階可導，則當 時， 為下凸函式）. 特別地，不難驗證函式 在 上是下凸函式，於是，對 我們有
從而 由對數函式的單調性，得
故命題成立.
注引理4稱為 不等式，它的一般形式為
若 為區間 上的下凸(上凸)函式，則對 和滿足 的 0(i=1,2,\cdots,n)," eeimg="1"/>成立
以上我們利用了幾種典型的方法證明了平均值不等式成立. 在證明過程中，利用了各種技巧和方法.
2樓：142857
這個是著名的AM-GM不等式，可以採用一般數學歸納法，作輔助函式lnx，Cauchy歸納法等等加以解決。
具體步驟可以參考謝惠民習題課講義第二版上冊P4，這個不等式非常重要，是基本的
3樓：予一人
這是著名的 不等式（需補充正數條件）：
若干正數的算術平均數（Arithmetic Mean）不小於它們的幾何平均數(Geometric Mean)。
用公式來表達，即
其中 0." eeimg="1"/>
這可以如下證得：由於 在 上是凹函式，於是依 不等式，成立再依 的單調性棄去對數符號，即證。
4樓：未定元
以下考慮 0}(1\leq i\leq n)" eeimg="1"/>.
先進行特殊情況當 ，只需要證明 .我們用調整法進行證明.
若 ，結論顯然成立.
若 不全為 ，此時一定有 (否則 1" eeimg="1"/>，矛盾)，由對稱性，不妨設 .另外1" eeimg="1"/>(否則與上面同理得到矛盾).由對稱性不妨設 1" eeimg="1"/>.
令 ，此時 ，但是
即 .如此操作至多 次， 個數將全變為 ，但每次變化後，這 個數的和將一直減小，於是
&b_1+b_2+\cdots+b_n\\ >&\cdots+\cdots+\cdots+\cdots\\ >&1+1+\cdots+1\\ =&n . \end\\" eeimg="1"/>
一般地，記 ，令 ，則 .由 知道 ，整理即得
證畢.我們利用不等式： 等號成立當且僅當 .記 .
令 ，這裡 ，
則有 累乘得 又 ，所以 .
當且僅當 即 時等號成立.
證畢.[1]
首先我們證明 對無限多個自然數成立.
這很容易，因為 時：
於是， 時
歸納可證， 0})" eeimg="1"/>時：
這就是說， 對無限多個自然數成立.
接下來，我們證明：若當 時，不等式成立，則 時不等式成立即可.
我們有： 我們希望得到 元的情形，為此，令 ，在 式中令 ，得：
而 ，故
也就是證畢.
高中問題，不等式證明的大佬請進。這個不等式怎麼證？
tan90 下面每個式子都等價 a 2 ab b 2 1 a 3 b3 a b 2 a b 8 a 3 3a 2b 3ab 2 b 32 a 2b ab 2 a 3 b 3 a 2b ab 2 a 2 a b b 2 a b 0 a b 2 a b 0 其中 a b 2 0,a b 0故成立 阿昇 ...
這個謝惠民上的不等式是怎麼來的？
三千弱水 美國數學月刊以前的一道徵解題 1 扯個題外話，謝老師編著 數學分析習題課講義 也確實參考了蠻多美國數學月刊上的文章和徵解題，這也是這本習題集被推崇的原因之一。因為美國數學月刊在上個世紀中後期的徵解題 Problems and Solutions 是有相當難度和啟發意義，本世紀以後徵解題部分...
這個範數的不等式是什麼背景
xyor wz 這個不等式叫Hlawka s inequality，第一次見到是在Mitrinovic D.S.Analytic inequalities Springer 1970 這本書裡 p171，2.25.2 對於實數的情形可以直接用三角不等式證明，比如 注意到那麼 注意到上面不等式的對稱性...