1樓：TravorLZH
定理（柯西不等式）：設V為數域F上的內積空間，設 ，則 \right|\le\|u\|\cdot\|v\|" eeimg="1"/>。
證明：設 \over\left}v" eeimg="1"/>，則有： =0" eeimg="1"/>。因此，z和v正交並且u可以被改寫為：
\over\left}v" eeimg="1"/>，再根據勾股定理，我們可以輕易得到：
\right|^2\over\|v\|^2}" eeimg="1"/>
由內積的定義可知 ，所以：
\right|^2\over\|v\|^2}\Rightarrow\|u\|^2\|v\|^2\ge\left|\left\right|^2\Rightarrow\|u\|\cdot\|v\|\ge\left|\left\right|" eeimg="1"/>
Q.E.D.
在特殊情形時，柯西不等式還有第二種證法，利用了一元二次方程中根的性質：
證明2：設 ，則根據內積的性質，有：
\ge0" eeimg="1"/>
展開左側，得到：
&=\left+t\left \\ &=\left+t\left+t\left+t^2\left \\ &\Rightarrow t^2\left+\left+2t\left \end" eeimg="1"/>
其中箭頭處沒有出現共軛符號是因為歐氏空間裡的內積滿足 =\left" eeimg="1"/>。現在不妨設 ,b=\left,c=\left" eeimg="1"/>，則有：
=at^2+2bt+c" eeimg="1"/>
根據內積性質 \ge0" eeimg="1"/>，我們可知： ，因此方程 只有可能出現重根或者沒有實根。於是其判別式必須小於等於零，即：
分別將a,b,c代入，得到：
\right|^2\le\left\left" eeimg="1"/>
兩側開平方，得：
\right|\le\|u\|\cdot\|v\|" eeimg="1"/>
推論：
若 ，則 \triangleq\sum_^n\overlinev_k" eeimg="1"/>，因此我們有
如果 ，則上述不等式等價於平時常用的柯西不等式.
2樓：密期望
家裡沒數分，不知道對不對，如果出現嚴重錯誤，我躺好挨罵。
已知（不會打複數集的符號，反正大家看得懂，就湊合一下吧）：
求證：證明：
(1)(2)
(3)upd：取等條件由內積的非退化性易得。
3樓：BenShui
方法一：配方法
方法二：判別式法
是關於 的二次三項式，且保持非負，故其判別式 ，所以方法三：二次型法
因此關於 的二次型 非負定，因此
即方法四：數學歸納法
不做贅述
4樓：cvgmt
最本質的應該是先齊次。
也就是兩邊同時除以
除法真是神奇 !!!!!!
最後化為求證當 ，那麼
只需要證明
包括大名鼎鼎的平均不等式，也可以兩邊同時除以 齊次化，化為證明如果 0" eeimg="1"/>，，那麼
5樓：Cambrian Period
向量證明:向量的模之積大於等於向量內積（柯西不等式的向量形式），通過向量的座標運算，並將二維向量拓展為n維向量，可以得到柯西不等式。
除了重要不等式，均值不等式，柯西不等式。還有哪些比較重要的不等式？
衿琯 AG不等式，Cauchy不等式，Jacobsthai不等式，Bwrnoullia不等式Sort不等式行，Jensen不等式，Chebyshew不等式，Yong不等式Aczel不等式，Holder不等式，Minkowski不等式，Schur不等式，Karlson不等式.加權AG不等式，先證明Ja...
高中問題，不等式證明的大佬請進。這個不等式怎麼證？
tan90 下面每個式子都等價 a 2 ab b 2 1 a 3 b3 a b 2 a b 8 a 3 3a 2b 3ab 2 b 32 a 2b ab 2 a 3 b 3 a 2b ab 2 a 2 a b b 2 a b 0 a b 2 a b 0 其中 a b 2 0,a b 0故成立 阿昇 ...
如何證明不等式 sinx x x x ，x R？
予一人 這個不等式被稱為Redheffer不等式，1969年發表於 美國數學月刊 首先，很清楚，不等式兩端的函式都是偶函式，我們只需要證明不等式在 時成立即可。當 時，若補充定義 不等式以等式形式平凡地成立 當 pi eeimg 1 時，引入新元 0,eeimg 1 不等式化為 這依然成立，因為顯然...