1樓：雲遊最可愛
請注意，此證法大型考試不能用，根據當地的評分細則會適當扣掉一些分數。
理由：超綱（別問我為什麼超綱，我也不知道為什麼超綱，他說超綱就是超綱）
（這個教訓是拿全市模擬分數換出來的）
回到問題，前面的答主已經回答得非常到位了，我僅僅是對題主的內心困惑做一些解答
應該說，世界是很大的，沒有想不到的不等式，只有我們看不到的不等式。
對數均值不等式，又名ALG不等式（又名奧利給不等式），最早出現在高中生眼前的是一些競賽題，接著，有人就把競賽題改成高考題了，這些高考題，引起了大家的重視，這個不等式得到了廣泛傳播與推廣。
對該不等式的研究中，換元法和幾何法是常見的證法，不過，幾何法要被扣分。
雙變數問題的證明方法多種多樣並非一定要用這個不等式 （難道建構函式然後證單調性證明出來的快感不強烈嗎？）
圓錐曲線，導數來來回回都在說那些東西不是說它不難，確實難，但是太無聊了
（建議命題人多出些刺激的題目，比如講在向量三角數列題裡玩花樣，把立體幾何出成壓軸題，搞快點，讓大夥都爽一下）
2樓：Warlock
結合@蘇承心 提出的方法，給出利用柯西積分不等式的證明令 ， ，則有
帶入柯西積分不等式，可得
稍作整理即可得到不等式右半部分
令 ， ，則有
帶入柯西積分不等式，可得
稍作整理即可得到不等式左半部分
3樓：
題主,你不等式左側的證明,應該是梯形APTU的面積大於曲邊梯形APTU的面積,不應該也不需要搞那個G點出來的.
題主的思路是正確的，只是稍微有點筆誤而已。
另外我理解這個問題實際上首先是在問對數均值在自然科學中的意義。究竟是對什麼東西的研究產生了這個被稱為對數均值的算式？
關於這個問題有乙個東西叫做Log mean temperature difference（LMTD），wiki上詳細介紹了它的定義（也就是「平均」二字的意義）和根據定義計算得到的結果。
用科學的方法訪問禁斷的知識：Logarithmic mean temperature difference
用科學的方法訪問漢化的禁斷的知識：對數平均溫差-北城百科網 （但是漢化的非常爛）
誠實地說，截至此時此刻，我是沒能看懂這些物理量的含義。但是根據定義，我知道這東西大概是衡量傳熱功Q在傳熱引數為C面積為S的某換熱面上的一種平均……
至於這個不等式鏈，應該是首先對自然科學的各種各樣的研究先產生了各種各樣的均值，然後好事者為了進一步了解和記憶各個均值的性質，就像製表一樣，事先用數學手段計算出它們的大小關係，然後就形成了所謂的均值不等式。
所謂平均其實就是滿足一些條件的多元連續函式。除卻我們熟知的冪平均、算數平均、對數平均、幾何平均、調和平均，科學家們還創造過很多很多平均數。具體可以閱讀知乎上這篇文章：
「已登出」：〔科普向〕略冷門的二元均值介紹，這裡面就提到乙個由53個平均值組成的超長不等式鏈。如果要了解這些平均值的自然科學背景，那就只能親自去查閱提出它們的文獻了。
4樓：
這個不等式本質仍然是柯西均值不等式，只是結合了對數的性質而已。由
我們有令 為奇數，使得右端分數可約分為
從而由柯西均值不等式簡單得到上下界
由於上式三者當 時俱有極限， 為奇數的限制不對三者極限的關係產生實質影響，從而得
5樓：Hilbert
關於基本不等式有三個推廣方向:多元;高次;特殊函式
多元我就不說了:
高次我也不說了,參見詞條:冪平均不等式
接下來我說說特殊函式的推導方向
首先在高等數學中有乙個著名的定理:柯西中值定理
[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]=f'(ξ)/g'(ξ) ,a<ξ它揭示了對於兩個端點之間的給定平面弧，至少有乙個點，弧的切線通過其端點平行於切線。(這個平面弧可以用引數方程表示)
我們來看,當f(x)=x,g(x)=ln x時,對數均值 =ξ
所以對數均值也是一種特殊的均值,自然會想到將它與幾何平均,算術平均做比較
並且這種比較從數量級的角度是最優的(即左右不等式不可再改進為指數更大的冪平均
分割線柯西中值定理帶給數學家的思考是:兩個差值的比值也可以作為中值
令 ,可知 ,每代入任意乙個g(x),都有唯一的f(x)與之對應(差別僅在常數項上)
下面我來說說如何用柯西中值定理證明左半部分
只需證明: )<1,然後取f(x)=ln x,g(x)= 即可
樓主還有什麼問題隨時提,我下午晚上都在.
除了重要不等式，均值不等式，柯西不等式。還有哪些比較重要的不等式？
衿琯 AG不等式，Cauchy不等式，Jacobsthai不等式，Bwrnoullia不等式Sort不等式行，Jensen不等式，Chebyshew不等式，Yong不等式Aczel不等式，Holder不等式，Minkowski不等式，Schur不等式，Karlson不等式.加權AG不等式，先證明Ja...
不等式 舒爾不等式及其應用
guoyong zhou 從前有個落魄秀才，雨天夜宿於一座荒郊破廟內。見圍牆上畫了乙隻無頭小鳥，一時興起，便拿出筆墨添上了鳥頭將其補充完整。鳥頭剛畫好，就從圍牆四周跳入一群強盜，哈哈大笑對他說 蛇無頭不走，鳥無頭不飛。既然你把這只鳥補完了，我們就認你做帶頭大哥了。秀才想推辭，可這群強盜怎麼會容他分說...
高中問題，不等式證明的大佬請進。這個不等式怎麼證？
tan90 下面每個式子都等價 a 2 ab b 2 1 a 3 b3 a b 2 a b 8 a 3 3a 2b 3ab 2 b 32 a 2b ab 2 a 3 b 3 a 2b ab 2 a 2 a b b 2 a b 0 a b 2 a b 0 其中 a b 2 0,a b 0故成立 阿昇 ...