1樓：EVAN SUN
說個最淺顯的，兩個可測函式的f和g的內積其實可以當作是乙個泛函，而這個內積的運算一般來說是它們乘積的勒貝格積分。
實際上對任何函式空間來說，要定義什麼有界線性運算元的話，多少都和內積有關。我好久沒看實分析還有泛函分析的書了，所以能記住的人也就這麼多。
2樓：「已登出」
乙個很明顯的特徵就是實分析主要研究的是函式，就是可測函式的一些性質，比如可測函式的在可測集合上勒貝格積分，可測函式列積分收斂等問題。泛函主要研究的是normed vector space，主要是無限維向量空間。一般從Lp和lp空間入手，然後研究空間上的性質（banach space，hilbert space）以及空間之間的operator。
3樓：Dialektik
因為如果你要研究一些無限維結構的表示論（尤其是和quantum physics有關的表示論）的話，測度論是必須的，它告訴你在無限維的情況下怎麼做最小單位分解。乙個代數結構的有限維（unitary）表示你只要不可約分解就行了，分解出來總歸是有限個不可約表示的直和。無限維表示你沒法分解成有限個最小單位的直和的，可數個都不一定行，因為有時候所能得到的直和是無限並且連續的，你只能用測度論來描述這種直和。
這種更一般的直和叫direct integral。兩個Riesz表示定理（ 上的正泛函以及 -有界泛函的不可約分解），自伴運算元譜理論作為 代數的表示的不可約分解理論（它推廣了有限維情形下的線性空間直和分解為特徵子空間），Stone定理作為一維可交換李群 的酉表示的不可約分解理論，這些都是例子。如果題主沒有聽過這些例子中的任何乙個，那麼可以思考下面這個問題：
4樓：
簡單的講，實變函式是特殊的測度論，泛函分析是代數化或抽象化的測度論，它的乙個高峰是馮諾依曼代數理論（馮諾依曼代數是C*代數的關於某種「非交換測度」/廣義積分理論的完備化）。
實變函式研究的是有限維歐式空間上的典範測度論（歐式拓撲和微分結構確定的哈爾測度），和可測函式的勒貝格積分理論；泛函分析是各類函式空間及其之間的聯絡（運算元）的性質的學問。
相比較而言，實變函式側重例子和構造，泛函分析側重結構和性質以及一些universal的規律。
5樓：dhchen
Analysis in general tends to revolve around the study of general classes of functions (often real-valued or complex-valued) and operators (which take one or more functions as input, and return some other function as output).
也就是分析的核心是「函式類」和「運算元」。 實變函式研究的就是「可測函式及其積分」，具體來說：極限和積分交換問題、可測函式的「微分」問題、積分和積分的交換問題。
所以，實變函式不是側重分析，它就是分析。
泛函分析聚焦的是「運算元」，當然了，還有運算元定義的空間。它自然也是分析。而實變函式中可積函式構成的空間 和它們上的運算元是泛函分析非常關心的例子，也是泛函分析很多理論的具體應用。
大部分教材上的泛函分析其實用不到多少代數，一般的教材上提到Banach代數就頂天了，它們當中的主要定理關心的也不是代數結構, 雖然裡面的物件具備一些代數結構。但是，泛函分析實際上關心的是各種空間的性質和運算元的性質。
綜上所述，它們關心密切，自然可以放在一起了。實際上，分析本身互相聯絡，很多教材都是直接從數學分析講到泛函分析，因為這樣更加通透。你人為地割裂它們反而不好，實際上的情況是乙個具體的課題裡面可以涉及到從定積分到乙個運算元的估計等多層次的問題。
6樓：清雅白鹿記
實分析主要講Lebesgue測度和積分的建立，泛函分析是數學分析、線性代數的推廣和昇華，還包含了拓撲學知識。
我覺得實分析裡面講到Lp空間，既依賴於Lebesgue積分，又依賴於泛函分析裡面的度量空間和賦範線性空間，是溝通泛函分析的橋梁吧，所以放到一本書也很正常。
7樓：
另外，說泛函分析側重代數其實有些奇怪，再怎麼說泛函分析也是一門分析學的課程。泛函分析確實有類似於Banach代數這種偏代數的分支，但單從本科教的內容來感覺還是更偏分析一些。當然這只是我的個人感覺。
至於為什麼有很多書把實變和泛函放在一本書裡，我覺得就是作者喜好吧。就像除了Rudin好像也沒有誰會把實分析和復分析寫在一本書裡。
泛函分析有什麼好的教材？
推薦徐景實的是認真的嗎？60多塊錢就買了本定義和例題堆砌，別的書二三十頁的他兩頁講完了.推薦誰的書我沒啥頭緒，推薦b站孫炯 可能打錯字了 老師的課吧，徐景實是真的不行，圖書館隨便找本泛函都比他的詳細易懂。 如果是想看國內教材，同時想讀面向應用的泛函分析，我推薦柳重堪的 應用泛函分析 這本書除了介紹有...
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