集合的勢與測度有什麼關係？

1樓：雨雪晴

1，可數集的測度都是0。

2，測度是零的集基數可以是連續統c（康托集)。

3，科恩力迫模型裡，連續統假設CH不成立(阿列夫1小於連續統c)，並且所有基數小於連續統的集合都是零測集。

4，但是在Solovay的新增阿列夫2個random real的力迫模型裡，連續統假設CH不成立，並且存在著基數為阿列夫1(小於連續統)的非零測集。

詳細見 Bartoszynski ，Judah ，Set Theory: The structure of the real line. 1995.

2樓：

其他答主寫了不同的地方。我的簡陋的理解是，集合的勢描述乙個集合的「大小」，可以比較兩個集合裡元素個數的多少；而集合的測度描述的是這個集合內一些子集相互之間或者有限的並集的「大小」關係，類似給集合配一把尺子。但是兩者之間應該也可以建立某種聯絡。

這裡有乙個例子，即有限可數集合的勢可以作為其測度。（感謝作者 @查哥半桶水

3.1 測度的定義與例子

3樓：askerzzy

空集的測度是0，其餘的情況下不指明是什麼測度就沒關係。

測度、勢、綱這些概念是從不同角度評價乙個集合的，就好比乙個人可以同時是黨員、教師和父親，但是要問黨員、教師、父親之間有什麼關係，那就沒那麼明顯了。

4樓：tsuirl

至多可數集的測度是0，除此之外似乎沒有必然聯絡了。勢和測度是衡量集合「大小」的兩種方式，阿列夫1的集合可以測度很小，比如cantor集。

7/23 更新

測度就好像在量重量，那麼對測度的兩個要求：1.空集測度是0，2.

互相不相交集合可列並的測度等於各集合測度之和就很直觀了。從這個角度說，Cantor集是那種元素很多，但沒有重量的集合。

看到有答主提到counting measure。counting measure下，無限集的測度是無窮大，無論可數不可數。對於aleph-0、aleph-1、個人認為雖然都屬「無窮」系，但是有本質差異。

可以認為是數軸的終點，稱作infinity；而aleph-0、aleph-1是描述無窮多的程度，修飾的是infinite。