傅利葉級數和表示論有什麼關係？

1樓：

"表示論的觀點"

2樓：Yuki Yuna

以下內容抄自GTM64&85。

設 0}" eeimg="1"/>，我們考慮以及的所有不可約復表示。因為這是阿貝爾群，因此由Schur引理知道它們都只有一維的不可約復表示。這些復表示可以由乙個複數給出，其中是所給的其中乙個群中的元素。

經過一些推理，這樣的複數能夠成為其上的不可約酉表示當且僅當在的時候以及在上的時候有，其中，因而環麵的所有不可約復表示由阿貝爾群給出，而的所有不可約復表示由給出。在上面自然的有計數測度，在上面自然地有Lebesgue測度。

這個時候，我們考慮群代數，是卷積運算並且是上述兩個群中的乙個，這個時候我們要考慮由群的表示誘導的群代數的表示。自然的想法就是對任何的元素以及給定的表示，我們定義，於是我們就得到了群代數的表示。在這兩種情況下展開這個表示式，我們對前者得到傅利葉級數，對後者則得到傅利葉變換。

我們稱誘導表示的公式稱為的Fourier變換

一般地，除了有傅利葉變換以外，我們還希望有逆變換以及傅利葉變換的所有性質成立：比如對，我們期望成立Plancherel恒等式，其中為上所有不可約復表示的集合，稱為的Pontrjagin對偶。對一般的李群，當其所有不可約表示的集合帶有良定義測度的時候，我們依然可以在上建立最基本的調和分析理論。

由此可以知道傅利葉級數/。

另一種推廣是Gelfand變換。參見：

Gelfand transform

3樓：PENG Bo

樓主需要的是 Peter-Weyl 定理：

簡單地說：考慮 G 的表示 V，比如寫成乙個矩陣，那麼矩陣的係數，就是 G 上的函式。例如，對於 2 維表示，就可以對應到 a_11 a_12 a_21 a_22 四個函式。

（注意，為簡單起見，這裡的 G 是緊緻的，否則問題複雜得多）

Peter-Weyl 定理說，G 的所有不可約表示的矩陣係數，是 L^2(G) 的基（應該說是矩陣係數在 L^2(G) 中是 dense 的）。這就是 G 上的傅利葉分析（如果只看不可約表示的特徵，那麼就對應 class function 的基）。

比較重要的是，需要意識到 G 在 L^2(G) 上有 regular 表示，而這個表示可以分解為不可約表示。（注意，如果 G 非緊緻，會有某些不可約表示不在這個分解中）

如果樓主需要看這種傅利葉分析的具體例子，可以看球諧函式：

Spherical harmonics

卷積很重要，因為此時也有卷積定理。而且卷積直接聯絡到跡公式。另乙個需要滿足的定理是 Plancherel 公式，Harish-Chandra 當時做過一些工作（對於 G 非緊緻的情況）。

這個往後面說都會聯絡到跡公式，自守形式等等，研究他們的重要目的也是因為和數論的聯絡。

4樓：

卷積確實會自然地出現在表示論裡. 比如取 GL_n/C, X 是它的旗流形, 那麼 GL_n 作用在 X^2 上的軌跡 (上的復函式們) 通過卷積生成乙個代數 over C, 這個代數跟 X 上的平凡 equivariant 線叢的自同態代數同構

5樓：以德服人

實數域的加法群的一次復表示就是傅利葉級數（係數要取整數）。

等給老闆匯報完，再來詳細答~~~~(>_<)~~~~

6樓：

這個問題極好，數學中有很多分支會互相借鑑一些東西。關於傅利葉變換和表示論的聯絡，建議參考Fourier-Mukai transformation，關於卷積，可以參考Chriss-Ginzburg的書中關於卷積的部分