1樓：
展開的基不一樣。
三角傅利葉級數以三角函式為基，基組具有正交性，因此在涉及到L2空間的內積與度量時是有力的工具。另一方面，三角級數的微分具有簡單的形式，因此在常微分方程和偏微分方程中非常實用。
泰勒級數是以冪函式作為基底進行展開。冪函式基底不正交，當然你可以在特定區間和權函式下進行施密特正交化，不過這樣會破會泰勒級數簡單的形式。泰勒級數最大的優勢在於區域性近似。
微積分中乙個重要的思想就是對函式進行一階二階乃至高階的區域性近似。例如對於乙個多元函式，我們有某一點的函式值、一階的Jacobi，二階的Hessian，也可以再推到高階去。冪函式的乙個好處是簡單，算得快。
這是非常重要的性質。
在應用數學中，近似是非常重要的思想，因而泰勒級數的應用非常廣泛，數學分析課程中往往會構造各種畸形病態的函式，然而實際問題中所用的模型所涉及到的函式都是簡單的，因而儘管泰勒級數要求多階連續可微，這個條件往往是滿足的，儘管去用就好。
2樓：uhometitanic
傅利葉級數的性質比泰勒級數良好太多了
泰勒級數：
要求函式無窮可微，才能寫出泰勒級數
即使函式無窮可微，泰勒級數也不一定收斂
即使泰勒級數收斂，數值也不一定等於原函式
存在處處無窮可微但處處不解析的函式，而且這些函式在 中稠密
傅利葉級數：
只要函式可積，就能寫出傅利葉級數（但不一定收斂）
如果函式是bounded variation，那麼傅利葉級數就會逐點收斂（但數值不一定等於原函式）
如果函式是連續和bounded variation，那麼傅利葉級數就會一致收斂至原函式（但不一定絕對收斂）
如果函式是絕對連續並且它的（幾乎處處存在的）導數是square-integrable，那麼傅利葉級數就會同時一致收斂以及絕對收斂至原函式
對於square-integrable函式，傅利葉係數 是乙個Hilbert space isomorphism
如果 和 ，那麼 的傅利葉級數會一致收斂至乙個均勻連續函式 ，並且 幾乎處處等於
如果 ，那麼 的傅利葉級數會在 中收斂至 ，同時也幾乎處處逐點收斂至
不幸地，當 時第7點是錯的：存在可積函式的傅利葉級數不在 中收斂，同時也處處逐點發散，並且這些函式在 中稠密
冪級數展開與泰勒級數展開是什麼關係？
本文使用 Zhihu On VSCode 創作並發布 在回答這個問題之前，首先要區分泰勒公式和泰勒級數。乙個函式在點有至少到階的導數，則它可以用階的泰勒公式表示 這是乙個有限項的求和，所以不存在收不收斂的問題，而餘項的存在保證了右邊的求和等於原函式。有很多種表達形式，最簡單的是佩亞諾餘項 至於泰勒級...
冪級數與泰勒展開不矛盾嗎？
從來沒有說泰勒級數展開或者冪級數展開一定對所有 成立這一說法 首先冪級數本身就不一定對所有 都收斂，而是受到Cauchy Hadamard公式的限制 冪級數在區間 也即 中收斂 其中收斂半徑 由Cauchy Hadamard公式 確定，在這個區間外冪級數發散，在任何嚴格位於級數收斂區間 內的閉區間上...
傅利葉級數的展開的推導過程中，三角函式正交是什麼意思？
不會數學的小滑稽 設那麼Fourier級數告訴我們 即函式空間 為一線性空間 如果補充內積，按照函式空間內積的一般定義 那麼 明顯在雙線性對映 下構成內積空間 明顯，那麼正交性就意味著 這可以由積分的線性性以及 得到證明 半個馮博士 這題很有意思，估計計多同學也沒弄明白。若兩個向量 的內積為0，也就...