1樓：逢參
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在回答這個問題之前，首先要區分泰勒公式和泰勒級數。
乙個函式在點有至少到階的導數，則它可以用階的泰勒公式表示：
這是乙個有限項的求和，所以不存在收不收斂的問題，而餘項的存在保證了右邊的求和等於原函式。有很多種表達形式，最簡單的是佩亞諾餘項：
至於泰勒級數，它是一種特定形式的冪級數。但是可以證明，對乙個在點有任意階導數的函式（往往稱為點的函式或光滑函式），對它在點做冪級數展開，得到的必定就是它的泰勒級數：
注意泰勒級數是乙個有無窮項求和的函式項級數，它可能不收斂或者只在某些區間收斂，而且就算它收斂，它的和函式也不一定等於原函式！下面是乙個例子：
對於它在處的任何階導數都等於0，則在處的泰勒級數為
顯然它在上收斂，且其和函式。由此可以看到，對於一切都有。
另外，如果乙個函式在點的某個鄰域內等於它的泰勒級數的和函式，就稱它是點的解析函式，這是比光滑更高的要求。而下面的定理把泰勒公式和泰勒級數聯絡了起來：
設在點光滑，0" eeimg="1"/>，則在區間等於它的泰勒級數的和函式的乙個充要條件是：對，有。
冪級數與泰勒展開不矛盾嗎？
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廣義傅利葉級數展開與泰勒級數展開有什麼根本上的區別？
展開的基不一樣。三角傅利葉級數以三角函式為基，基組具有正交性，因此在涉及到L2空間的內積與度量時是有力的工具。另一方面，三角級數的微分具有簡單的形式，因此在常微分方程和偏微分方程中非常實用。泰勒級數是以冪函式作為基底進行展開。冪函式基底不正交，當然你可以在特定區間和權函式下進行施密特正交化，不過這樣...
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