1樓：不會數學的小滑稽
設那麼Fourier級數告訴我們
即函式空間 為一線性空間
如果補充內積，按照函式空間內積的一般定義
那麼 明顯在雙線性對映 下構成內積空間
明顯，那麼正交性就意味著
這可以由積分的線性性以及
得到證明： ，
2樓：半個馮博士
這題很有意思，估計計多同學也沒弄明白。
若兩個向量 的內積為0，也就是 =0" eeimg="1"/>，就稱這兩個向量正交。
=\frac \int_^ f(x)g(x)d x" eeimg="1"/>
簡單起見，我們考慮 分別可以取 中的任意一種，它們一定滿足內積的性質。
容易得到只有這兩個不為零：
=\frac \int_^ \sin^2 (nx) d x=1" eeimg="1"/>
=\frac \int_^ \cos^2 (nx) d x=1" eeimg="1"/>
其它所有組合均為0：
=\frac \int_^ \sin(nx) d x=0" eeimg="1"/>
=\frac \int_^ \cos (nx) d x=0 " eeimg="1"/>
=\frac \int_^ \sin(nx)\sin(mx) d x=0 " eeimg="1"/>
=\frac \int_^ \cos(nx)\cos(mx) d x=0 " eeimg="1"/>
以上 =\frac \int_^ \sin(nx)\cos(mx) d x=0 " eeimg="1"/>
3樓：北北
正交是定義在內積上面的，而內積並不限於向量的點乘。
下面給出內積的定義:
若V是實數域R上的線性空間。若給定定義在V上的2元實函式，將V中任意兩個向量α，β，對應到乙個實數（α，β），並且滿足三個條件
1.雙線性
2.對稱性
3.正定性
則我們稱其為定義在Euclid空間上的內積，可以證明在積分意義下，正余弦函式是正交的（這麼做的主要目的是求出傅利葉係數）。
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