1樓：張戎
傅利葉變換（Fourier Transform）其實是數學裡面非常重要的一門技術。在數學分析裡面，就有傅利葉分析的身影，用於計算正整數的平方倒數和等於 並且還有很多其他有意思的性質。
對於初學這門課程的人而言，建議閱讀一代數學大師，沃爾夫獎得主 Elias M.Stein 撰寫的《傅利葉分析導論》，英文名是 Fourier Analysis An Introduction。
在這本書裡面，作者從波動方程和熱方程開始，逐漸引入傅利葉變換的基礎知識和概念，也介紹了傅利葉級數的收斂性質。其中包括單位區間上的傅利葉變換和實數軸上的傅利葉變換，最終將其推廣到高維實數空間中。除此之外，作者也基於這些基礎知識介紹了傅利葉分析在其他領域中的應用，包括等周定理（The Isoperimetric Inequality），同程度分布定理（Weyl's Equidistribution Theorem），數論中的 Dirichlet 定理等等。
讓讀者在學習傅利葉分析的同時，認識到傅利葉分析是在數學各個領域都有著重要應用場景的一門學科。
之前在北京大學學了整整乙個學期的調和分析，是由 BICMR 的苗老師主講。在這門課上我受益匪淺，故寫一篇文章來感激下這位老師，同時寫一下自己學習調和分析的感受。
調和分析起源於 Fourier 這位數學家的研究，故也可以稱為 Fourier 分析。其主要內容包括運算元插值方法，Hardy-Littlewood 極大運算元，Fourier變換，Calderon-Zygmund』s Inequality，函式空間，Ap 權等等。下面一一介紹這些基本內容。
(1) 運算元插值方法
裡面主要有 Marcinkiewicz Interpolation Theorem 和 Riesz Thorin Interpolation Theorem兩個定理，分別是用實變方法和復變方法證明的。這兩個定理則是研究運算元的 有界性的關鍵定理，是整個調和分析的基礎。
(2) Hardy—Littlewood Maximal Operator
這個是乙個相當重要的擬線性運算元，利用 Vitali Covering Theorem 和 Marcinkiewicz Interpolation Theorem 可以證明該運算元是 有界的。證明過程不超過10行，但是證明過程相當的漂亮。
(3) Fourier Transformation
調和分析的主要工具，這個工具不僅僅在調和分析上有用，在 PDE 和隨機過程中，這也是乙個相當重要的工具。它把乙個物理空間上的函式，轉換成頻率空間上的函式，從而獲得了很多很好的性質。
(4) Calderon-Zygmund』s Inequality
這個定理是調和分析的經典定理之一，是處理卷積型的奇異積分的。可以看成是 Minkowskii 不等式的推廣。Zygmund 把定理的條件放的很弱，只需要加上 Hormander 條件就可以得到運算元的 有界性。
然後也可以考慮其條件的充要條件。
(5) 函式空間
調和分析裡面提到的函式空間包括 Sobolev space，Lipschitz space，Hardy space，Besov space 等等。 其中 Sobolev space 在 PDE 上面用處廣泛，其代表作就是 Adams 的 Sobolev Space。Besov Space 裡面有乙個插值定理，也相當的重要，差不多 5 頁吧，當時苗老師讓我們全部背下來，嘿嘿。
另外， Hardy Space 裡面有乙個相當重要的定理，就是所謂的 Duality of BMO and H^1 Space. 其證明過程大概有10頁吧，是由 C.Fefferman 和 Elias.
M.Stein 在上個世紀70年代給出的，方法太經典了，看完之後甚至會覺得自己沒有必要學數學了。
(6) Ap weight
這個也是調和分析的分支之一，其中周民強老先生的書上有詳細記載，就不一一闡述了。
以上的這些內容就是之前乙個學期在北大學習所學到的東西，學了調和分析之後，基本上就不怕所謂的硬分析了。總之收穫還是蠻多的，非常欣賞那位老師，乙個學期講了那麼多東西。其實以上我提到的只是他講的東西的一半內容，他後面還講了很多 Schrodinger 方程的內容，由於本人實力有限，實在是沒有能力再學後面的內容了。
ps：去 BICMR 學習是 2009 年的事了，一晃眼 11 年過去了。
Loukas Grafakos，GTM 249，Classical Fourier Analysis
Loukas Grafakos，GTM 250，Modern Fourier Analysis
Elias M.Stein 傅利葉分析導論
備註：
第 1，2 兩本書是調和分析的經典之作，幾乎涵蓋了實變方法的所有內容。不過有點厚，差不多 1100 頁。
除此之外，也可以閱讀 Elias M.Stein 所撰寫的《調和分析》，但是這本書不適合做教材，只能夠作為翻閱的材料進行閱讀。
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