泰勒展開式中冪函式的係數是怎麼推導出來的？

1樓：

如果希望在某個區域內得到收斂於的冪級數，結果即，稱為泰勒級數；

如果希望由區間內導數的性質推知端點值的關係，結果即或者稱為泰勒中值定理（Darboux公式作為其推廣也很有意思，參見問題下另一答主的回答）。

這兩者都可以用於近似函式在某些點的值：

前者在復變函式中通過其他方式得到，係數和導數的關係是反推得到的；

後者在一定條件下（比如對於導數有一定的估計），可以得出泰勒級數，而逐點收斂的級數可以近似函式在各點的取值；

用兩點間的導數估計函式值的變化還是很直觀的，推導中值定理/餘項的過程中也自然會通過中值定理或者分部積分引入冪函式。不過「泰勒展開」不一定要利用區間內的可導性/導數值，換個觀點可以看到，泰勒展開標誌性的「一點處的導數值」（及其與係數的關係）和「冪函式」的由來。

如果希望在某個點的各鄰域內得到的漸近性質，也即不一定要求逐點收斂於轉而要求階近似的餘項是第階函式的無窮小，得到的結論是皮亞諾餘項的泰勒公式[1]。這個結果，可以說是導數定義的推論：如果函式在有一階導數，那麼，即，以此類推。

換句話說，泰勒公式的基本組成是局域可導（即最高端的點態可導）的直接結果，另兩個佐證是，函式在不可導的點，依然存在漸近展開，當然就不一定是泰勒公式了；反過來，在泰勒級數不收斂到函式的情形，只要導數的存在性等條件滿足，泰勒中值定理和皮亞諾餘項的泰勒公式依然成立。

2樓：酉運算元譜分解

設在的乙個鄰域內具有n+1階連續導數，設在點到點上解析，是任意乙個的次多項式，則有恒等式在上式兩邊從0到1求定積分，並注意到（因為它是n次多項式），得到Darboux公式

泰勒公式是它的特殊情形：

3樓：衝衝衝

層層剝開，就像剝圓蔥。

函式f(x)，在x0點的值，f(x0)，那麼x0+△x處的值呢？

從運動的觀點，有個初值，f(x0)，還有個變化率，近似得f(x0) + k1·△x，

但是，根據俄羅斯套娃定理，

k1也有個初值和變化率，得

f(x0) +( k1+k2△x)·△x，無限套娃下去就行了。

然後呢，求導，由於有(x－x0)的i次方，所以有i的階乘，用導數替換ki就ok了。