1樓：沈環宇
反正切函式的這三個展開式都是很經典的結果，我們逐個來看下：
第乙個展開式來自反正切函式的導數公式：
將等式右邊的分式展開為幾何級數再積分，並且注意到幾何級數的收斂範圍，就有：
當 1" eeimg="1"/>的時候，利用反正切的函式關係式：
就有第二個在 ∞ 附近的漸近展開式：
以下內容有更新（2020.04.25）
第三個展開式可以利用反正切與反正弦的關係式，以及反正弦函式的泰勒展開：
代入即可得到。
下面我們再介紹乙個由尤拉發現的第四種反正切函式展開式，同時給出第三種展開式的另乙個證明。
首先引用尤拉轉換公式：
其中 是Pochhammer Symbol， 是數列 的n階前差分在0處的值，它可以表示為組合數的某個有限和：
特別地，考慮如下前差分恒等式（又稱範德蒙恒等式，可用數學歸納法證明）：
可以得到超幾何函式： 的尤拉變換公式：
後一步是因為超幾何函式的前兩個引數是輪換對稱的。當然，這個公式也可以從超幾何函式的積分表示式得出來。
最後，根據反正切函式的第乙個展開式，反正切函式可以用超幾何函式表達出來：
這是比較簡單的，感興趣的讀者可以嘗試轉換一下。對上式套用超幾何函式的尤拉變換公式，就可以得到反正切函式加速收斂的兩個超幾何函式表達：
將第乙個表示式裡面的Pochhammer Symbol 展開來寫，我們就重新得到了反正切函式的第三個展開式；下面的第四個展開式不同於題主給的三個，是尤拉首先發現的。注意，這兩個展開式的 不再受絕對值小於1的限制。
Mathematics Notebook以上。
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