1樓：
從來沒有說泰勒級數展開或者冪級數展開一定對所有 成立這一說法
首先冪級數本身就不一定對所有 都收斂，而是受到Cauchy-Hadamard公式的限制
冪級數在區間 （也即 ）中收斂
其中收斂半徑 由Cauchy-Hadamard公式
確定，在這個區間外冪級數發散，在任何嚴格位於級數收斂區間 內的閉區間上，冪級數絕對且一致收斂.
當然如果
則冪級數在整個 上收斂
如果冪級數 的收斂區間為 ，且不縮成唯一的乙個點 ，在收斂區間 內，這個級數的和函式為 ，
那麼在收斂區間 內，這個級數的和 可微，並且
證明：
由Cauchy-Hadamard公式
則冪級數
經過逐項微分後，得到的新冪級數
收斂區間 與原冪級數相同
顯然冪級數 在任何乙個區間 中一致收斂
冪級數 在 處收斂
由函式項級數逐項可微的條件
在區間 內逐項可微
且類似可以證明，在區間 內
任意次可微
並且注意
令 令令 令所以，冪級數由它本身的和函式 決定
且冪級數就是它的和函式 的Taylor級數
另外，乙個函式 如果能在某個區間區間 內展開成收斂的泰勒級數，也不意味著它就一定等於這個泰勒級數
如果乙個函式與它的泰勒級數相等，這樣的函式叫做實解析函式
2樓：蒹葭蒼蒼
我覺得是泰勒展開就是展開為冪級數，或者說是函式的冪級數展開公式是由泰勒展開的方法求得的，邏輯關係應該是這樣，所以不矛盾～
3樓：dj luo
Power series
From Wikipedia, the free encyclopedia
In mathematics, apower series(in one variable) is an infinite series of the form
where a_ represents the coefficient of the nth term and c is a constant. a_ is independent of x and may be expressed as a function of n (e.g.
, a_=1/n!). Power series are useful in analysis sincethey arise as Taylor series of infinitely differentiable functions.
In fact, Borel's theorem implies thatevery power series is the Taylor series of some smooth function.
4樓：HANNAHandJUDY
看了看大家回答的都是從定義域方面入手，私以為沒答到本質上。我的理解是:"泰勒展開是冪級數展開的有限版，冪級數是泰勒展開的無窮版。"
意思就是:將f(x)展開為n階泰勒公式，這時兩者是不相等的，存在誤差，必須加個拉格朗日餘項o(x^n)來表示誤差，兩者才可以劃等號，所以泰勒展開是有窮的，有n+1項。而冪級數則是用無窮來表示誤差，所以求和的規定是n=0→∞，無窮代表無限逼近，則f(x)和其展開的冪級數當然可以劃等號。
擴充:泰勒展開和冪級數展開的目的都是因為之前的原函式f(x)不好直接研究其四大分析性質(收斂性、連續性、可導性、可積性)，所以展開為更好的形式來分析它，但是泰勒展開和冪級數展開都有缺陷，那就是定義域狹小，且f(x)必須符合有n階導，這是非常不友好的，所以這哥倆實用性不是那麼強，真正應用強的是傅利葉展開，無缺陷，不管你是數學的計算機的還是電信的物理的，你都會學傅利葉變換，這就是它的魅力，規定著時域與頻域的變換規則。
5樓：望諳達
冪級數展開也是有收斂半徑的，只能在(-r, r)中展開，端點帶入判斷是否可以展開。
e^x的泰勒展開或者說冪級數展開比較特殊它在整個數軸上都收斂，你寫的兩種形式是等價的，在x=1,的展開式兩邊同時除以e，即可得到在x=0處的展開式.
冪級數展開和泰勒展開的本質都是用簡單函式近似複雜函式，在零點展開的泰勒級數就是冪級數。
6樓：「已登出」
泰勒展開式本身就是冪級數。泰勒展開式可以選擇在收斂域內任意一點展開，若固定在零點展開，則稱為麥克勞林展開。
不管是泰勒展開式，麥克勞林展開式，還是其他冪級數展開，本質都是把乙個函式f(x)投影到乙個無限維空間中，這個空間的乙個基是1,x,x,x,,,,,,,,x,可以根據實際情況，通過施密特正交化方法，將其轉化為乙個標準正交基，e1,e2,e3,,,,,en,然後f(x)=(f,e1)e1+(f,e2)e2f,en)en,這就是f(x)的展開式了，其中(f,en)是內積運算。不管什麼方式展開，最本質的就是這個式子。因為標準正交基不唯一，在不同的基下，f(x)有不同的展開式。
回到問題本身，你在不同的點展開，就相當於選擇了不同的基，表示式當然會不同。
冪級數展開與泰勒級數展開是什麼關係？
本文使用 Zhihu On VSCode 創作並發布 在回答這個問題之前，首先要區分泰勒公式和泰勒級數。乙個函式在點有至少到階的導數，則它可以用階的泰勒公式表示 這是乙個有限項的求和，所以不存在收不收斂的問題，而餘項的存在保證了右邊的求和等於原函式。有很多種表達形式，最簡單的是佩亞諾餘項 至於泰勒級...
廣義傅利葉級數展開與泰勒級數展開有什麼根本上的區別？
展開的基不一樣。三角傅利葉級數以三角函式為基，基組具有正交性，因此在涉及到L2空間的內積與度量時是有力的工具。另一方面，三角級數的微分具有簡單的形式，因此在常微分方程和偏微分方程中非常實用。泰勒級數是以冪函式作為基底進行展開。冪函式基底不正交，當然你可以在特定區間和權函式下進行施密特正交化，不過這樣...
怎樣通俗的理解泰勒級數
我的感覺是，如果兩個函式的任意階導數都相等，那麼這兩個函式可以認為是同乙個函式。他們的值只差乙個常數。個人猜測，應該可以證明 初音的大蔥 在回答之前，先看看這個恐怖的級數 初看之下，誰都是一臉懵逼，腦子裡像糨糊，令人作嘔。但是別擔心，此人將一一為具言所聞。泰勒是怎麼想的 怎麼展開到級數的形式 麥克勞...