1樓：璩之
先分清泰勒級數和泰勒多項式，這兩個有很大的差別。
題主可能剛學高數吧，下學期你就會看見，即使是函式任意階可導，也就是說可以把n「取到無窮」，所謂的無窮項的泰勒多項式，也就是泰勒級數，那麼你得到的這個泰勒級數也未必和函式相等，因為n趨於無窮時餘項還有可能不為零。
如果題主對線性空間了解的比較多的話，可能會發現｛x｝是函式空間中的一組線性無關的向量，但是這一組向量應該是不完備的（好像是吧，我不太確定？可以自己驗證一下），所以不能用這一組函式把任意乙個任意階可導的函式線性表示出來。
2樓：
1. Taylor公式的適用範圍是「有連續n階導數」的函式，而不單單是「無窮階可導」函式。
2. 很多時候不用展開至無窮項，展開到剛好夠用就行，多了反而算起來麻煩;另一方面用Taylor做數值計算時實際也只能求有限項和，計算機是要停機的。餘項保證了取有限項時公式依然是等式，並可以做誤差分析。
3.可以展開成無窮級數，那麼這個級數為什麼就等於原本的函式？(傅利葉級數也是可以隨便寫，但不一定等於原本函式) 只有餘項的極限為0時Taylor級數才等於原本函式。
3樓：Wejish Zeng
泰勒中值定理和泰勒級數是有關係的，但它們並不一樣。
泰勒中值定理用有限項多項式來精確表示被展開的函式在某一點的值，最後一項餘項的存在才道出了它中值定理的本質。
泰勒級數的意義則是級數的部分和在n→∞時收斂於被展函式。乙個函式能展開成泰勒級數的充分必要條件是其餘項趨向於0。
不能把兩者的概念混淆了。使用中值定理可以很方便的用餘項估計多項式擬合的誤差大小，展開成冪級數則有很大的其他數學意義。
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