1樓：
我的感覺是，如果兩個函式的任意階導數都相等，那麼這兩個函式可以認為是同乙個函式。他們的值只差乙個常數。(個人猜測，應該可以證明)。
2樓：初音的大蔥
在回答之前，先看看這個恐怖的級數
初看之下，誰都是一臉懵逼，腦子裡像糨糊，令人作嘔。但是別擔心，此人將一一為具言所聞。
泰勒是怎麼想的
怎麼展開到級數的形式
麥克勞林級數是怎麼變成泰勒級數的
泰勒的思維
首先，當人們計算e^1.5等等時，如果不查表的的話，那就只能兩臉茫然了，可是，，，算了，先思考下面乙個場景：
你在運動會上賽跑3000公尺，不料你被你班學霸輕鬆的超了，得了第一名。從此你發憤圖強，每天早上跑3000公尺，練的和你班學霸的速度一模一樣……
那麼你猜下次運動會是不是會並列第一？
可實際上，問題要比這複雜，為什麼呢？因為你班學霸不可能以同乙個速度向前飛奔，速度會變的！它有個加速度，而加速度也有個加速度……
到這裡泰勒已經想明白了，加速度也就是導數，加速度的加速度也就是導數的導數……
所以我們要找乙個東西可以像e^x一樣能導n次，三角函式肯定不行，還有……多項式！這傢伙可聽話了，你給他幾階他就能導幾次。
至此，泰勒需要的只是展開的方法了。
2.方法
我們可以以e^x為例子，可以先從任意點模仿它，但通常選0開始，先0階導e^0=1
再來一階導f'(0)還是1但是我們遇到這種情況，如果直接把1代上去會發現一階導不相同所以1指的是x。
把1+x畫出來看看
圖怎麼反了啊
隨著x的變大，兩人越來越不像了，為什麼呢，因為他們加速度的加速度不一樣！
先自己推吧。
相信大家在推導過程中發現為什麼到一階以後我推的和它不一樣了呢？不一樣的肯定是1/2！，1/3！……
想想想x^a求a階導
到最後，我們發現，得到的不是1，而是a！（a的階乘）所以我們要加1/a！來讓它得1。
最後，看看當x=a的情況。當求（x-a）^n的n階導時
所以，兩種級數的展開方式是幾乎一樣的。
3樓：蜉蝣
我有乙個非常好的直觀理解的物理例子。假設你和小明從同乙個起點開始跑。如果你和他在起點處的速度相等，加速度相等，加加速度相等...
那麼在任意時刻，你和小明跑過的路程一樣。因為起點處速度相同，所以經過很短的時間你們路程相同，又加速度相同，所以此時你們速度還相同，又加加速度相同，所以此刻你們加速度也還是相同...因此經過很短的時間後你們又像初始時刻一樣...
依此類推，經過任意長時間，結論亦相同。唯一的條件是有無窮介導數
4樓：王小筠baby
用吳文俊的話說就是：把質的困難轉化成量的複雜。
展開前求解函式的值很困難，
展開後是冪函式的線性組合，
雖然有很多很多項，
但是每一項都是冪函式，
因此每一項都容易求解。
於是只要對展開後的求和，
就能得到展開前的函式的值。
就這麼簡單。
注：吳文俊的原話是用在機器證明上面的，
我把它用在這裡，所以這可以說代表我的
解釋而非吳文俊的。
5樓：Woo Ivan
上圖所表示的是求函式 f(x) = e^x 在 x = 3 處不同order時的泰勒級數展開。
從影象中我們可以看出，與x軸平行的線代表 0 order 時的泰勒級數展開，即 e^3;
有乙個點不斷出現的線代表1 order時的泰勒級數展開，即 e^3 + e^3(x - 3);
以此類推。
在這個過程中我們可以看到，隨著order的增加，即泰勒多項式的增加，與原函式重疊的函式部分越來越大，換言之就是在這個點附近的近似越來越精準。
綜上所述，「通俗」的理解泰勒級數展開就是區域性近似。
延伸閱讀:在Wolframe中可以檢視本答案中使用的影象。
關於泰勒級數展開的應用：我通常是在 linear system 中會用到泰勒級數展開，即把高階的函式線性化，從而使得我要解決的系統可以使用已有的 state space 等線性系統模型。
6樓：
實際應用中，總是會出現一堆複雜的函式，這類函式往往令物理學家和數學家都十分頭疼。為了解決這一窘境，泰勒想：會不會存在一種方法，把一切函式表示式都轉化為多項式函式來近似呢？
這樣，處理問題不久變得簡單了嗎？
經過泰勒的夜以繼日的奮鬥、研究，終於他研究出了泰勒級數的理論。它將一切函式，不論表示式有多麼多麼的複雜，只有能保證n階導數存在，就能將它的區域性用多項式展開。
嗯，沒錯，就有這麼神奇。
實際上，利用多項式函式近似、（或者稱作）逼近乙個複雜函式，是研究實際問題的乙個非常重要的思想。
除了泰勒，傅利葉也曾想過用三角函式的組合來近似複雜函式（因為三角函式具有導數形式不變的特點），他也成功了。題主可以將泰勒級數和傅利葉級數對比一下。
嗯，就是這樣，也沒什麼好神奇的吧。以上。
7樓：
冪級數是
這樣的級數。
泰勒級數是係數為第n階導數在某一點的值 / n的階乘的冪級數。
，，……
所以泰勒級數就是：
而泰勒公式是一種用泰勒級數來近似地表示某個光滑函式的方法，它可以告訴我們原來的函式在某一點附近的情況。
對於這樣項數有限的多項式函式，泰勒級數可以製造出乙個完全等價的函式（自己寫寫看，挺好玩的）。
對於sin(x),cos(x),這樣無法等價的函式，我們可以通過增加項數的方法，使得泰勒級數逼近這個函式的範圍越來越大，同時誤差越來越小。(自己可以找畫圖軟體試試)
但也因為近似，所以會有誤差，這個誤差一般會在離 c點越遠的地方越明顯。
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