1樓：夏洛克
【就是我們的餘項，顯然它是乙個從 開始的、有無窮多項的…多項式函式】
(1)
(2)
(...)
(n)對 做 n 次積分就得到 還記得之前說過的嗎：」是乙個從開始的多項式函式「
這說明：在 n 次求導過程中， 的 一直殘留著，故 總是為零，
也就是說， 的導函式們起點全都是零，所以積分的時候不必擔心初始值的累積，幹就完事兒！有同學指出 是乙個和 有關的變數，積分時不能直接當作常量帶入，ta說的對，我正準備大改，卻發現
在「積分第一中值定理」的保障下，這個積分過程其實是合理的，只是描述上不夠嚴謹。
積分第一中值定理：
也就是說：每次積分 都在變，但是只是從 的乙個位置變到另乙個位置而已，積分N次依然逃不出 的五指山。
所以積分過程中看起來像是乙個常量一樣。
2樓：飄啊飄.阿飄
這是慕課裡華東師範大學數學分析（二）裡面的ppt截圖，上面的證明是根據已知結論反推證明的。為什麼名稱裡有拉格朗日余型呢？應該是在推導這個泰勒公式的時候使用了拉格朗日中值定理。
3樓：吾欲攬六龍
挺簡單的
用n+1次牛萊再用一次積分中值定理再積回去就得到了。
只要注意到Rn（x）=Rn（x）-Rn（a）和求到多少次導Pn（x）會被求沒就行了。
4樓：興國
泰勒公式可以擬合函式在某個點附近的值，其展開式的階數越高，精度越高。
打個比方，1234可以展開為四項乘積的和：
如果展開前三項： （還沒有精確到個位數）
這時你可以展開到個位，或者是可以寫成：
至於3.4他不是之前的3，而是在3和4之間的乙個小數， 可以看成拉格朗日餘項
5樓：Flag
話不多說，直接上圖。
拉格朗日中值定理，柯西中值定理，泰勒中值定理都是中值定理。
但泰勒中值定理是可以靠前兩個推出來的。
個人所見：泰勒中值定理是以拉格朗日中值定理為基礎的。拉格朗日中值定理有乙個恆成立的等式，當n階導數取X0時等式被打破，因此n階導數所在方要加乙個變數來保持平衡。
當n階導趨於無窮時，若第n項的倒數還取X0，則其所在方要加乙個變數時等式平衡，但因為泰勒中值定理呈數列形式，所以，加入的變數以第n項為通項。因為整個式子是以拉格朗日中值定理平衡為基礎的，所以這個第n+1項稱為拉格朗日餘項。
6樓：ELFsay
餘項是由拉格朗日中值定理得出的。
有拉格朗日型餘項的泰勒公式是個精確值。
最後的誤差被餘項消去了。
曲線f（x）為原函式的第n次導，f'（x）為n+1次
7樓：AD哥
仔細的人，很容易會發現，整個微積分，只有乙個思想:抓大舍小。
這句話聽起來有點點不明白，比如，看看極限，其實不就是找到我們想要的那部分想要的數值，積分不就是把無關緊要細節的捨去然後找計算出數值，無窮級數不也如此。
泰勒公式也是這樣的，我們回憶一下，泰勒公式不就是將任意乙個函式，轉變成多項式+無窮小項，最終我們還不是把無窮小項斃了，只剩那個多項式。
這個思想其實跟我們普通人做事風格很像，只做重要的事情，小事不必吹毛求疵，勿避重就輕。
把其運用在追求女孩子身上，追求的女孩子你不可能啥都了解，哪怕有幸你們結婚並度過餘生，你也不可能完全了解她不是嗎？那幹嘛不在過程中主要掌握一些能掌握的資訊，了解她的大部分不就夠了嗎？如果幸運在一起了，不是有大把大把時間慢慢理解，逐漸趨於了解她的極限狀態(100%了解她的那個狀態，不可能達到那個極限值)
另外，為什麼需要轉換成多項式。多項式在求導積分方面的優勢不必言說，計算起來大大簡化了不是嗎？化繁為簡的過程，起初是不好理解的，想想當初學泰勒公式的時候，難道沒有懵逼吐槽幹嘛要這麼做？
一旦接受了這個思想，便覺得其實難度真的不大，只是乙個思想而已。談思想，似乎感覺高大上，我們在學新知識的時候，是不是經常開始覺得難，多學兩次就簡單好接受了，其實也就是接受新知識(思想)的過程。很多人說這是熟能生巧的過程，我不是特別認同，熟能生巧大不了只是會用，對其思想怎麼可能有進一步的揣摩理解。
當然如果要剖細節，也不是很容易的，看看泰勒公式，其實裡面理論的東西是非常深的，只是對於普通來說，大概懂這個公式幹什麼的，傳達什麼思想不就夠了嗎？
比如，扣扣泰勒公式細節，幹嘛採用笛卡爾積的形式呢？它的基不就是(x-x0)的n次方，然後求到的係數(就是那個求n次導並將x帶入x0的數值)，其實可以做成的笛卡爾積的形式有很多的，幹嘛選擇這樣的形式，還不是因為將其基選成了n次多項式，這樣好處多多。
還是拿追女孩為例，女孩=∑若干優點+∑若干缺點+一些無關緊要的屬性，我想不同的是選擇的優點缺點肯定不同，也就是選擇的基不同，但是誰選擇更容易了解女孩，就不一定了，我想泰勒公式選擇的基就是那個最好的
8樓：
１、這個誤差是x（和n）的函式。
２、收斂的泰勒級數對任意乙個固定的x隨著n增長，這個差值趨於０。
３、而對於任意特定的n，這個誤差在x離展開點a越近則越小趨於０，越遠則可能大得離譜（雖然對任意遠的x上述２成立），所以這不是「全域性」的函式曲線逼近。
具體這個誤差都有各種表示方式，可以定量分析其上界和極限。上述只是乙個直觀描述。
9樓：billP
乙個函式的導數可以理解為它的「微觀結構」，n階導數可以理解為函式的「第n個層次上的微觀結構」，就好像「人」的下一層是「組織」，再下一層是「細胞」，再下一層是「分子」……。這樣泰勒公式就可以理解為「乙個函式可以用它的無窮多個層次的微觀結構來描述」，當你只取前面的n項時，後面的部分就成了「誤差」，也就是餘項。按照拉格朗日中值定理，這個餘項也可以寫成和前面各項一樣的形式。
其形式表明，餘項相當於第(n+1)個層次上的微觀結構，「誤差」不會很大。
10樓：花開望君歸
函式f(x)在開區間（a,b）有直到n+1階的導數,則當函式在此區間內時,可以展開為乙個關於（x-x.)多項式和乙個餘項的和：
f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.
)+f''(x.)/2!(x-x.
)^2,+f'''(x.)/3!(x-x.
)^3+……+f(n)(x.)/n!(x-x.
)^n+Rn
其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!(x-x.)^(n+1),這裡ξ在x和x.之間,該餘項稱為拉格朗日型的餘項.
（注：f(n)(x.)是f(x.)的n階導數,不是f(n)與x.的相乘.）
證明：我們知道f(x)=f(x.)+f'(x.
)(x-x.)+α（根據拉格朗日中值定理匯出的有限增量定理有limΔx→0 f(x.+Δx)-f(x.
)=f'(x.)Δx）,其中誤差α是在limΔx→0 即limx→x.的前提下才趨向於0,所以在近似計算中往往不夠精確；於是我們需要乙個能夠足夠精確的且能估計出誤差的多項式：
P(x)=A0+A1(x-x.)+A2(x-x.)^2+……+An(x-x.)^n
來近似地表示函式f(x)且要寫出其誤差f(x)-P(x)的具體表示式.設函式P(x)滿足P(x.)=f(x.
),P'(x.)=f'(x.),P''(x.
)=f''(x.),……,P(n)(x.)=f(n)(x.
),於是可以依次求出A0、A1、A2、……、An.顯然,P(x.)=A0,所以A0=f(x.
)；P'(x.)=A1,A1=f'(x.)；P''(x.
)=2!A2,A2=f''(x.)/2!
……P(n)(x.)=n!An,An=f(n)(x.
)/n!.至此,多項的各項係數都已求出,得：P(x)=f(x.
)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.
)/2!(x-x.)^2+……+f(n)(x.
)/n!(x-x.)^n.
接下來就要求誤差的具體表示式了.設Rn(x)=f(x)-P(x),於是有Rn(x.)=f(x.
)-P(x.)=0.所以可以得出Rn(x.
)=Rn'(x.)=Rn''(x.)=……=Rn(n)(x.
)=0.根據柯西中值定理可得Rn(x)/(x-x.)^(n+1)=Rn(x)-Rn(x.
)/(x-x.)^(n+1)-0=Rn'(ξ1)/(n+1)(ξ1-x.)^n(注：
(x.-x.)^(n+1)=0),這裡ξ1在x和x.
之間；繼續使用柯西中值定理得Rn'(ξ1)-Rn'(x.)/(n+1)(ξ1-x.)^n-0=Rn''(ξ2)/n(n+1)(ξ2-x.
)^(n-1)這裡ξ2在ξ1與x.之間；連續使用n+1次後得出Rn(x)/(x-x.)^(n+1)=Rn(n+1)(ξ)/(n+1)!
,這裡ξ在x.和x之間.但Rn(n+1)(x)=f(n+1)(x)-P(n+1)(x),由於P(n)(x)=n!
An,n!An是乙個常數,故P(n+1)(x)=0,於是得Rn(n+1)(x)=f(n+1)(x).綜上可得,餘項Rn(x)=f(n+1)(ξ)/(n+1)!
(x-x.)^(n+1).一般來說展開函式時都是為了計算的需要,故x往往要取乙個定值,此時也可把Rn(x)寫為Rn.
牛頓 萊布尼茨 拉格朗日 高斯 泰勒等等，他們這些人當時怎麼會去研究數學，在當時有什麼實際意義嗎，比如現在能解決工程問題，有很大的經濟效益，但是那時候也有嗎？
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喧北海 費馬引理 費馬引理是微分三大中值定理的前傳 函式f x 在點x0的某鄰域U x0 內有定義,並且在x0處可導,如果對於任意的x U x0 都有f x f x0 或f x f x0 那麼f x0 0。這裡只是來描述它，不是來證明它的，所以不管嚴謹性，用通俗的語言說一下 如圖所示 費馬引理 連續...