1樓：落落大方的發卡
首先你要明白對偶問題的實質是什麼，
乙個簡單而深刻的原理：閉凸集外一點到這個凸集的距離，恰好等與這個點到所有分離這個點與凸集的超平面的距離的上確界。
求一點到凸集的距離，這是乙個最小化的問題；求一點到若干超平面的距離最大值，這是乙個最大化問題。
事實上，在泛函分析中，每個超平面都能與乙個線性泛函聯絡起來，最後的對偶問題，其實是想找乙個線性泛函！
2樓：覃含章
這兩個概念是非常有關係的。不過，要搞清楚這層關係，這個問題會變得非常深刻，對此很多著名的凸分析書都有很深入的闡述，比如R.T.
Rockafellar的Convex Analysis 30章就寫的非常清楚。
下面我給乙個更intuitive的闡釋。
然而從純粹數學的角度來說這種情況也只是所有情況中的乙個特例。為此，不失一般性，我們考慮如下情況：讓是乙個有限維的在中的向量空間（不必是內積空間）。
順便先指出，凸分析裡對對偶問題的核心思路其實是把乙個凸集（convex set）用它的支撐超平面（hyperplanes）來表示。注意，對閉凸集（closed convex sets）來說二者可以說是等價的，因為任何乙個閉凸集都是包含它的所有半平面（halfspaces）的交集（Theorem 11.5 in R.
T. Rocafellar）。實際上這便是對集合的「對偶表示」。
注意是定義在上的，所以我們已經看到了對偶空間在優化理論中描述「對偶」的作用。接下來我們說明如何進一步推導出其和拉格朗日對偶的關係（我們先推導乙個一般情況的）。注意在優化理論中，對偶問題是通過對原問題進行擾動（perturb）才得到的（對於這一點，不僅R.
T. Rockafellar凸分析的30章寫的很好，A. Shapiro有本Perturbation Analysis of Optimization Problems整本書都在闡述這一核心思想），而不同的擾動方式會得到不同形式的對偶問題，這也是我們常看到等價的原問題會有不同的對偶形式的原因。
為了說明這一點，我們考慮如下優化問題(記作原問題):，其中是凸的。
對任意，原問題的擾動問題定義為。接著定義函式，則顯然原問題等價於估計的值。注意根據共軛函式的定義我們有而且滿足一些特定的regularity條件我們就有等號成立（比如在0點處有次梯度，這對凸函式來說是trivial的）。
由此，我們定義對偶問題為估計的值。或者利用是在0點的共軛得到的等價定義：.
對比關於的定義，我們得到了一組min-max的對偶形式，在原問題中出現的是和定義域，在對偶問題中出現的是變數，的共軛和的對偶空間，在數學上十分優美。
最後我們給出拉格朗日對偶是這個框架的特例。此時，定義為
可以被擾動成（對任意）
沿用之前的定義，我們知道0 )" eeimg="1"/>那麼仍然可以看做在估計的值。為了求，我們知道我們需要求出的顯式形式，即
注意到的對偶空間和同構，我們用代替，那麼顯然
3樓：
看了 @覃含章的答案感覺自己答得太淺薄了，所以只留下講義推薦和definition
dual space是所有linear functionals(linear map from Vector space to Field) 組成的vector space.
lagrange duality是將原來的問題轉換成乙個對偶問題即primal problem 和 dual problem,其中通過解決dual problem可以給primal提供解集的一定範圍。
推薦伯村的這個講義..
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