Banach空間和Hilbert空間上的共軛運算元有什麼區別?

時間 2022-01-06 19:47:38

1樓:枯墨

說下我的理解,根據定義,Hilbert空間上的共軛運算元 , Banach空間上的共軛運算元 . Hilbert空間的確是Banach空間的特例。因為Riesz表示定理, 和 並不是真正同構,而是共軛同構的。

如果 和 一樣是從 到 的運算元,那麼就是轉置。轉化到 上的話相差乙個共軛。

2樓:王箏

Hilbert空間當然是Banach空間的特例,同乙個運算元的共軛運算元當然完全一樣。

但是,運算元跟矩陣是兩碼事,運算元只有選定基才能寫成矩陣。如果不知道怎麼選基,那麼談論矩陣就毫無意義。只有選定運算元、選定基,談論矩陣才有意義。

我們就具體來說 . 給定乙個運算元 ,T本身並不自動成為矩陣,必須選定一組基,比如選 ,那麼在這組基下T會有對應的矩陣。

這時我們有共軛運算元 ,其中這個 是 的對偶空間,也就是連續線性泛函全體。我們沒道理認為 與 是一樣的,二者可能是性質差很多的空間。

但是在有限維的時候,我們有個比較典範的辦法,根據 選定 的一組基 ,滿足 ,這時候有了基,有了運算元 ,你就可以去算矩陣了,得到的應當是轉置。

然後再看內積空間的情形。對於Hilbert空間,我們總有Riesz表示定理:Hilbert空間和他的對偶空間總是同構的。

但是,這句話要分兩說:如果是實空間,那麼確實是真正的同構;如果是復空間,那麼這個同構並不是線性同構,而是共軛線性。換句話說,我們有乙個非常典範的同構對映 ,但不是線性空間的同構,因為 .

這是因為實內積和復內積本身定義就不一樣,結論不一樣也理所當然。

此時, 可以非常典範的選一組基: 。有了運算元 ,有了基,你就可以去算矩陣了。

如果是我們一開始選的 是標準正交基,那麼得到的是共軛轉置嗎?不是,你好好算算,還是轉置。因為此時 ,所以 ,基一樣,矩陣當然一樣。

那麼共軛轉置是怎麼來的,我們考慮 ,或者是下面這個交換圖

這是個線性對映,並且基我們已經選好了,就是 ,標準正交基,此時你再算一下 對應的矩陣,這時候是共軛轉置。

另外,我可以用同樣的方法談前面Banach空間的:直接定義乙個線性對映 ,滿足 。那麼你再去算 對應的矩陣,你就會發現還是轉置。

究其原因,這裡 是線性對映,但是 不是。現在你有兩個運算元, ,長得都不一樣,對應的矩陣不一樣是理所當然的。如果你一開始選的 不是標準正交基,那麼 就不對了,此時這兩個運算元差別就更大了。

所以回到你的問題,為什麼矩陣不一樣。你可以看到在 上矩陣是一模一樣的,但是對於Hilbert空間,我們有個典範的辦法把運算元 從 拉回 ,但這個典範的辦法不是線性對映。那些習慣了的人們往往會直接忽略掉這個不同,直接濫用記號,但是你應當能夠把他恢復出來。

既然你說Hilbert空間、Banach空間了,我合理推測一下你在學泛函分析吧。無窮維的Banach空間上前面的對映 並不總是存在,或者一般來說不存在,即使存在也跟你的基的選取有關,所以在無窮維的時候我們很少談論這種問題。

最後說一點,不要把矩陣和運算元混為一談。雖然有時候把矩陣寫出來是很好的幫助,但是更多的時候我們在意的是運算元本身。運算元是對映,並不天生是矩陣。

3樓:Haibarao

自問自答,感謝群友在群裡的回答。這裡我把過程記錄一下。

一.Hilbert空間的情形設 是 的共軛運算元,則根據定義我們有 ,其中。把這些玩意給展開我們得到

所以此時 是 的共軛轉置。

二.Banach空間的情形

在Banach空間上的共軛運算元的定義如下:

設 是賦範線性空間, ,則 是 的共軛運算元如果事實上在這一題中關鍵在於如何刻畫 的對偶空間,由高代的知識我們知道若 ,則

這樣的話,我們有

所以從表示的意義上我們可以將 表示成 的轉置。

三.為何兩者不同

個人理解是因為Hilbert空間上的配置的內積導致它的對偶空間中會出現取共軛的那一部分(因為內機的Heimite性)。

4樓:橫渠不朽

因為 本身本身不能成為乙個內積空間,內積的定義要求有正定性和對稱性,但是這兩個在 中不可能同時滿足,所以實際上定義中的「內積」是承認了Hermite性。所以我感覺按照正常的Hilbert空間的定義不能成為乙個Hilbert空間。

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