1樓：喧北海
費馬引理：
費馬引理是微分三大中值定理的前傳：函式f(x)在點x0的某鄰域U(x0)內有定義,並且在x0處可導,如果對於任意的x∈U(x0),都有f(x)≤f(x0)(或f(x)≥f(x0)),那麼f'(x0)=0。
這裡只是來描述它，不是來證明它的，所以不管嚴謹性，用通俗的語言說一下：如圖所示：
費馬引理
連續函式在某個點，比如a點和b點，附近兩邊的函式值都小於等於這個點的值（a點），或者附近兩邊的函式值都大於等於這個點的值（b點），那麼這個點的導數等於零。有了圖，其實非常直觀。
羅爾中值定理：
函式 f(x) 在閉區間 [a,b] 上連續，在開區間 (a,b) 內可導，而且f(a)=f(b)，則至少存在乙個 c∈(a,b)，使得 f'(c)=0。
這個，連通俗語言描述都不需要了，直接看圖：
羅爾中值定理
這裡(a,b)之間有兩個點都滿足導數為零。
拉格朗日中值定理：
函式 f(x) 在閉區間 [a,b] 上連續，在開區間 (a,b) 內可導，則至少存在乙個 c∈(a,b)，使得 f'(c)= (f(b)-f(a))/(b-a)。
拉格朗日中值定理
通俗解釋就是(a,b)之間至少有一點的切線與端點的連線平行，看起來只是把羅爾中值定理的圖扭轉乙個角度，還是很直觀。
柯西中值定理：
函式 f(x)和g(x)在閉區間 [a,b] 上連續，在開區間 (a,b) 內可導，在開區間(a,b)內g'(x)≠0，則至少存在乙個 c∈(a,b)，使得f』(x)/g』(x) = (f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))。柯西中值定理擴充套件到了兩個函式。雖然說這裡不是證明它的，還是提示一下從拉格朗日中值定理證明柯西中值定理的關鍵點：
柯西中值定理
除了這個容易混淆的點，就是個引數曲線版的拉格朗日定理，應該說也還比較直觀。
泰勒中值定理：
函式 f(x) 在閉區間 [a,b] 上連續，在開區間 (a,b) 內n+1階可導，則至少存在乙個 c∈(a,b)，使得：
泰勒中值定理又叫帶拉格朗日餘項的泰勒公式。泰勒中值定理的定義只有乙個函式，再結合拉格朗日餘項這個名字，可以判斷它不是柯西中值定理的擴充套件，而是拉格朗日中值定理的擴充套件。不過用三大中值定理都能證明它，我準備分別用羅爾中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理來證明。
參見：喧北海：如何證明泰勒定理？
為什麼微分中值定理有三個？
龔漫奇 簡單的說，是為了教材編寫時的嚴格性和逐步推進性 三個定理的名稱和敘述放在本回答的最後 同時也是為了更方便的使用這些定理。詳細的說，先證羅爾定理比較簡單，然後用羅爾定理證拉格朗日中值定理，就容易了，而柯西定理的提出是為了後面證明洛必達法則而給出的。再說使用，由於拉朗日中值定理用的很多，所以這個...
在這裡如何運用羅爾中值定理？
仐泚 在學羅爾定理的時候，我一直不知道羅爾定理和方程的根有什麼關係，後來發現是自己的理解有問題。首先，羅爾定理 準確描述請參考課本 描述的是f x 在閉區間內連續，開區間內可導，若f b f a 則在 a,b 內至少存在一點使得f 0。羅爾定理本身與方程的根沒有什麼關係，但是羅爾定理中的f 0，說明...
你覺得費馬到底會不會證明費馬大定理？
陶紅衛 我覺得那個美妙證明確實存在，n 4的證明費爾馬發現的早，整體他證明發現的晚。最近偶然的發現這個證法，其過程確實是簡潔，清晰。 Brilliant 關於17世紀的數學水平能否直接證明費馬大定理 答案當然是肯定的，對於此，我確信我已經有了乙個美妙的證明方法，可惜知乎位置太小，我寫不下。 之乎者也...