1樓：墨菲斯
不確定題目意思是不是指為什麼乙個微分方程的解能冪級數展開。我按這個稍微提一下。
首先這個說法不是一般都成立的，
滿足y』=f（x，y），其中f可以展成x，y雙冪級數形式（即如果在原點指f（x，y）=sum a x^ny^m）形式的微分方程，那麼方程的解在乙個開區間上能寫成冪級數。
這個定理也叫柯西定理。可以參考常微分方程教程丁同仁那本書第七章。
一般情況實際上沒必要考慮太多，可以先冪級數試解，如果冪級數收斂了，那麼利用可能有的存在性或唯一性定理（不是所有方程都能有），然後確定是解（或者唯一解）。
2樓：羅旻傑
很好的問題, 也許以後上課時可以用作素材, 有不足之處希望大家多提建議.
考慮冪級數
並假裝我們不知道 等於啥. 求一次導數後, 可得
於是我們便得到了乙個一階微分方程又注意到 , 所以配合到一起就得到了乙個初值問題:
顯然, 這個初值問題有惟一解(請格外留意這裡的惟一性). 那這個初值問題如何求解呢? 我想大家一定十分熟悉分離變數法, 即
根據初值條件 , 我們可以確定常數 , 即 . 所以,
注 1: 為了確定和函式 我們首先匯出了它所滿足微分方程, 然後通過初值問題的解的惟一性來保證方程的解和級數只是同一物件的兩種不同表現形式(否則就意味著初值問題有兩個不同的解, 這會產生矛盾).
注 2: 這種方法之所以可行, 是因為求解微分方程的方法不惟一. 除了使用積分的分離變數法, 我們還能如何求解上述初值問題呢? 我們可以嘗試帶入冪級數
其係數 的結構待定. 要使其為初值問題的解, 它必須滿足方程, 即
比較係數後, 我們可以得到乙個一階差分方程:
重複使用上式, 可得
這裡 的值可有初值條件 來確定, 即 , 所以
這是不是也同樣解出了方程呢?
如果只有積分方法可以解除方程, 此外別無他法, 也就意味著, 解只有一種形式, 這個技巧就無法使用, 儘管這樣的情況在實際問題中也是常常出現的.
注 3: 許多特殊函式都可以看作是某個微分方程的解, 例如超幾何函式就是超幾何方程的解. 用冪級數代入得到的就是通常的超幾何級數.
使用積分變換就能夠得到積分解. 但是級數解往往成立的範圍較小, 而積分解的成立範圍較大. 但無論形式如何它們都是超幾何方程的解.
所以在公共成立的範圍內都代表著同乙個超幾何函式. 所以我們是怎麼求 在 處的值的呢? 我們常常使用的就是超幾何方程的積分解.
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