1樓：葉落無聲
這就要去理解微分方程是怎麼來的，或者說為什麼叫「微分方程」，而不是「導數方程」（相信不少初學者甚至老教授都沒考慮過這個問題）。
微分方程的叫法其實是很合理的。
坦白地說，很多數學理論或方法，都直接或間接地來自物理世界的實際問題（尤其是力學問題[1]，可以說整個力學史佔據了數學發展史的很重要的一部分，比如牛頓、尤拉、拉格朗日、斯托克斯、拉普拉斯等，幾乎都是雙重身份——數學家和力學家）。
目前大學教的的微分方程知識（包括各種已知型別的微分方程以及求解技巧），大部分都是在微積分出現之後很快就出現的，那時候主要是應用在跟力學相關的工程上的很多問題，因此總是會出現各種各樣的微分方程需要求解。這些微分方程是怎麼出現的呢？
就我所知，一般有兩種情況：
1. 應用哈密頓原理，利用變分法求解泛函極值來解決物理實際問題（比如最最速降線，梁、板殻的振動，彈性體變形），泛函極值條件是尤拉-拉格朗日方程方程，因此自然而然就出現了含有導函式的方程了。不過，這個觀點比較高層，不太直觀且操作繁瑣，但技巧性低，適合範圍廣。
2. 直接取微元體進行分析，利用物理定律列方程（所以很物理意義很直觀）。不過由於是微元體，故方程裡面必然含有微分，因此得到的都是一些含有微分的等式——當把方程整理後，就會得到含有導數的「微分方程」，看上去好像是「導數方程」一樣。
有了這些鋪墊，下面就可以很好地解釋為什麼它的解叫做積分曲線了。由於第一種情況比較繁瑣，這裡從第二種情況來解釋。首先，我們來模擬一階微分的產生：
假設有個函式 對應某個物理量，在使用物理定律對微元體進行分析，得知它的增量滿足某種一階微分關係
等式左邊是全微分，只是數學性質，而右邊才是物理規律，其中 與具體問題有關。
兩邊同時除以 ，得到微分方程（假設偏導數連續且不為零）
這樣，乙個簡單的一階微分方程就得到了。接著我們來思考，如何求出 呢？顯然，如果對方程 兩邊同時積分 ，那麼很容易得
這就是關於x,y的隱函式關係了，它內在地確定了 或者 曲線（如果存在的話），因此就說上面這個解就是是微分方程 的積分曲線。
或者不同時除以 ，而是引入額外的引數變數 ，最後通過積分求出 這種引數方程形式的解，這個解也是一種引數曲線，因此也說是方程 的積分曲線。
另一種理解就是從所謂的「積分因子法」獲得啟發。積分因子法是一種求解微分方程的方法，它的基本思想是通過湊全微分公式來解微分方程。即通過適當變形，把微商的分母都乘上來，化為含有微分的名副其實的「微分方程」，然後方程兩端同時乘以合適的積分因子（它是乙個函式），湊出 式左端的全微分形式，並且保證得到的微分方程右邊也可以積分，然後就能直接積出原方程的解——這個結果就是積分曲線。
只不過，這種方法難在「湊」的過程，它需要很深刻的洞察和直覺，以及一些變形技巧，用得好就會非常快捷高效。本質上，積分因子法是上面舉例推導出微分方程的逆過程，需要還原被消掉的量（積分因子），所以這種反著來的思路當然就需要很高的技巧和洞察力了（比如我們可以模擬一下因式的乘法展開合併同類項和因式分解，顯然前者操作簡單而直接，而後者就比較需要技巧和觀察了）。
對於更高階的情況，也是類似的過程，只是涉及到二階微分關係而已，或者使用狀態空間法，就化為等價一階微分方程組了（只不過是用矩陣方法解耦後使用矩陣積分），而二階是通過代換，可以積分兩次得到積分曲線，或者使用積分因子來湊全微分公式。
帶有根號的微分方程應當怎麼解？例如微分方程 dy dx 根號下（x y 3 ？
電渺陶琅 兩邊平方後再對x求導，可以得到乙個關於y 和y 的方程 都是對x求導 然後把y 看作變數就是乙個一階微分方程，可以解出僅含x和y 的方程。到了這一步就會發現y 沒有x的初等表示了，除非引入朗伯W函式這樣的函式。用這種方法一定要注意最後求出來的表示式只是必要非充分條件，通常會含有一些待定常數...
這個微分方程的通解怎麼解？
cOtjeX 先利用Laplace變換求特解，即考慮初值問題對方程左右同時進行Laplace變換，有 這裡用到了Laplace變換的導數定理 整理一下，得到關於 的代數方程 解得 故有 接著求齊次方程 的通解 這個齊次方程的特徵方程為 解得 故該齊次方程的通解為 綜上所述，原方程的通解為 其中 為常...
解微分方程主要是在幹什麼事？為什麼要解微分方程？
Awaken 其他答主都回答地很專業，非常數學化。不過非數學專業和未接觸很多大學數學知識的人，可能看不太明白。先說微分方程是什麼。很簡單，可以暫時理解為方程中同時有y和dy y的微分 如 y dy dx 0 代數方程常用的待定係數法等，似乎都不能直接用於求解。於是數學家們開始研究如何求解，最終很聰明...