1樓：QF T
講一下相關方向(理論物理)的一些求解方法。
求解的最多的偏微分方程就是薛丁格方程。想要得到數值解，本人目前試過用兩種方法來求解:
1.打靶法。用兩個試探值，不斷迭代，滿足一定條件輸出最終的數值。
2.基底展開法。空間中的態矢用一組完備的基底展開（有限維），我們方向一般採用諧振子基或高斯基，然後求解廣義本徵值。
mma和matlab都有相應的命令，可以直接求解本徵值，本徵向量。
2樓：宮非
2021-01-10
「譜方法，spectral method」主要用於求解偏微分方程，它具有「無窮階」收斂性，可採用快速演算法，現已被廣泛用於氣象、物理、力學等諸多領域，成為繼差分法和有限元法之後又一種重要的數值方法。
對於乙個「線性常係數」的常微分方程，一般都可以求得解析解，但是對於「線性非常係數」的情形，解析解不容易求。有的可以用特殊的換元方法（比如尤拉方程），有的必須用泰勒級數或者洛朗級數展開的方法求解，這種解一般也不會是初等函式，而是特殊函式／無窮級數這一類。不過，只要是線性方程，使用「譜方法」求解總能化成線性方程組，因此特別簡單。
舉例來說，線性常微分方程邊值問題 + 以多項式為基底的譜方法中，常微分方程： ---(1)
其中，關於的任意階的導數都是線性的，即所有導數（包括零階的原函式）的冪次都是1，所有項的次數也都是1。像這樣的線性形式，我們或者也可以寫成： ---(2)
如果選擇在兩個上下界之中插入k 個點進行配點，則總計配點個數為k+2=n，我們預計用這n 個點的資訊產生n 個方程，此時可以確定含有n 個未定引數的解析式，因此設： ，並用它作為y(t) 的估計值。這樣一來，的任意階導數總是很容易求得的，它就是：
---(3)
以上僅僅是乙個最一般的表示式，事實上在使用過程中非常高階的導數是很罕見的，反而最高端為 2 是最為常見的，這些情形下 y(t) 的導數的表示式都很簡單。現在，我們擁有了可以求任意階導數的估計值 的表示式，其中有n 個未定引數 ，我們設上下界分別是 和 ，然後可以在區間內選取n-2 個點 。我們將用這n 個點（配點）和估計值 的表示式，將線性的微分方程寫成乙個線性的代數方程。
我們記：
---(4)
只需要在n 個配點上分別把 和 的導數形式帶入方程就可以了。我們得到：
---(5)
代入n 個配點 就得到了關於的線性方程組：
---(6)
這裡除了 以外，其他所有資料都是已知量（或者可以直接求出）；同時關於 均為一次關係，為關於 的線性方程組。利用解線性方程組的方法求得 後，就可以得到關於t 的微分方程解的估計值表示式：
---(7)分類：
科普>>
數學>>推導
3樓：牛哥的辦公室
本牛哥通俗的講解一下好了。
你找本可達鴨所在學校出版的數學物理方法，一看就明白了，這類方程的解法都是先找正交基，當然不同系統內的正交基可能不同，具體的知識我回憶不起來了，大概一維好像是達朗貝爾，圓柱是貝塞爾，圓球的正交基應當是雅克比或勒讓德。
詳細解法不重要，也不必去記憶什麼公式，關鍵看明白推導過程，記住，一定要看明白是怎麼選取的正交基然後得出勒讓德多項式的，這是核心內容，其他都是次要的微小工作。球體對稱性那麼高，勒讓德的推導過程比六面體的亥姆霍茲簡單多了，所以請你別懶。
4樓：
譜方法就是先有一組基，一般是正交基，再把函式對這組基展開，當然展開到一定的階數，然後係數是未知的（待定），之後帶回微分方程求解，把係數確定出來。
一般常用的基有傅利葉正交基（就是exp(ikx)），Jacobi多項式（這是帶權重的正交多項式，Legendre，Chebychev多項式都可以歸到這一類），球諧函式是球面Laplace運算元的特徵函式，形成球面上的正交基。
當然譜方法在計算中還要考慮很多因素，但大體上差不多就這樣。
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