1樓：AfterPhilosophy
也來提乙個，具體不是很了解。
Palis conjecture: Every vector field can be accumulated either by hyperbolic vector fields or by ones with a homoclinic bifurcation or with a singular circle.
出發點是想把大部分系統化歸為雙曲系統，現在基本上都是做 C^1 的情形，高階的幾乎已經放棄了。參見 J. Palis.
A global perspective for non-conservative dynamics. 2005
2樓：
我想想說些啥。
對於Hilbert第16問題本身，目前可以說沒有任何進展，n=1的時候這個問題是平凡的。n=2的時候，這個問題就完全沒有結果了。目前知道的事情是H(2)>=4，這個結果由國內的兩批學者（史松齡，王明淑）構造的例子。
到現在30年了沒有進展。n=2的情況的研究可以詳細的參考葉彥謙的《極限環論》，應該是目前最詳細的一本書了。
目前研究Hilbert第16問題基本上都是找H(n)的下界的，因為上界實在是沒有什麼好的辦法，而下界你只需要構造例子就可以了，這個一般可以通過一些分支的方法來實現。比如Ilyashenko給過乙個結果H(m)>=1/2(m-1)(m+2)。更加精細的結果我就不舉例了。
這個問題有乙個閹割版的，就是弱化的Hilbert第16問題，這個問題是Arnold提的，是用Poincare分支的方法來看看能產生多少極限環。這裡為了簡單的就考慮加擾動的Hamilton系統，
這個系統epsilon是小引數，epsilon=0的時候，這個就是個Hamilton系統，稍微加一點點條件就可以讓 是環繞原點的一族閉軌，然後加擾動上去。這種情況下的設想是，閉軌族絕大多數會破掉，但是可能有幾個不會，這樣沒有破掉的閉軌，就變成了孤立閉軌，也就是極限環。這個問題可以轉化為研究Abel積分
的零點個數問題。
這裡如果取H為n+1次多項式，P,Q為n次多項式，我們假設I(h)的零點個數的上確界為A(n)。弱化Hilbert第16問題就是要研究A(n)的上界是多少。由於這個系統本身就是n次多項式系統，所以我們容易知道H(n)>=A(n)，這就和Hilbert第16問題建立了聯絡。
弱化問題的研究結果較多，多項式的Hamilton系統基本上都搞完了，推廣到一般的可積系統研究Abel積分零點的問題就會很麻煩。具體可以看李承治老師的綜述。
現在做這個問題基本上沒啥高階工具，方法上都很初等。這個問題離解決還早，目前都是混，基本上還要等聖人。
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