1樓：
我想這個問題，大神們不一定比我更知道你再說什麼。
首先泰勒級數「證明」這個說法肯定是有毛病的，不知道是那個編書的搞的工作。泰勒級數應該是用來定義的，先定義了e^ix=1+ix+(ix)^2/2!+...
，然後自然地就有了尤拉公式。這個定義我是在MIT的乙個啥啥analysis的課件上找到的，不過本人已經被物理學所拋棄，所以就記得不清楚了。至於為什麼要這樣定義，請參考樓下大神學長說的街吸菸託。
2樓：李電池
e=(1+1/n)^n 通過變形可以得到
e^i=(1+i/n)^n 這樣既保證了在復平面上，模長為1，但是在垂直方向上有微小的分量，這樣的軌跡就表現出了乙個圓弧，因為所有量都取1，所以就轉了乙個弧度，
e^ix 就相當於轉了x個弧度，對應到直角座標上就是尤拉公式的右邊
3樓：有丘直方
這個式子就是個定義。
在有這個定義之前，所謂「已經有了的運算法則」，其實就是四則運算，還有整數指數冪、整數次開方。
能有極限之類的東西是因為 語言是早就能定義出來了，這也就保證了我們能用級數來定義某些函式。
那麼任意指數運算怎麼出來的呢？
等 定義完了之後，可以證明一下它在實數上是單調的（更確切地說，是 的雙射），這保證了它的反函式的存在性，記作 （所以 是 的雙射）。
接下來延拓一下，讓 接受複數。
這個時候複數的模長和輻角都定義好了：
為了定義 ，其實應該先定義這些：
然後證明 是 的雙射（這個證明很難的……），再定義它的反函式為 ，然後再繞回來定義 ，不詳寫了。
總之，（等號右邊的 是事先在實數上定義好的。）
然後復指數冪就可以定義了：
可以證明當 是整數或整數的倒數的時候，與我們先前定義的整數指數冪和整數次開方是相同的。
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