實變函式的核心是什麼？

1樓：180天不能改

Riemann可積函式構成的集合在以Riemann積分為L1範數的線性空間不完備。

引入更廣義的Lebesgue積分在保證具有Riemann積分一切性質（分步積分，積分換元，多重積分交換次序，Newton-Leibniz微積分基本公式等等）且保證Riemann可積函式亦Lebesgue可積及兩種積分具有良定性的前提下，使得

Lebesgue可積函式構成的集合在以Lebesgue積分為L1範數下的線性空間完備。

這大概就是實變函式基礎部分所研究的主要內容吧。

2樓：jiesheng si

我們以周民強的教材為例說吧。從課程內容角度講，核心內容是勒貝格測度理論和積分理論。其餘內容為：

一是鋪墊內容：歐式空間點集拓撲初步內容；集合的基數（勢）理論。二是勒貝格積分的性質：

積分的逆運算，微分論和不定積分。Lp理論，闡述勒貝格積分下可積函式空間的一些性質，特別是完備性（黎曼積分不具備）。由此可見，實變函式就是為了講勒貝格積分論，但是積分本質上是測度，所以更確切地說，實變函式的核心是勒貝格測度論及其性質。

那麼，為什麼要引入勒貝格測度論？這是因為黎曼積分論有缺陷，具體可參考周民強的書中的積分論評注。或者鄧東皋的《實變函式簡明教程》。

從泛函分析的角度理解，勒貝格積分的產生是可積函式空間完備化的必然結果。

3樓：鍋淨

實變函式這門課是我大學裡第一次被幾個問題吸引得那麼深的階段。可數和不可數的問題。數軸[0,1]區間上點和實數軸上的點是否一樣多等等，打破了一些可以直觀腦補的觀念，發現了一座新的大山。

首先熟悉黎曼積分後，發現居然也還有維爾斯特拉斯函式這個東西，不可積的集合也太多了，真是欺負人。但是理論和實際（主要是物理）發展的雙重推動下，需要尋求乙個更廣泛的積分方法，以應對更加抽象和間斷的集合，比如說，某些集合上的稠密集合。舉個具體的例子，函式連續是其可以被黎曼積分的必要條件，但是如果函式不連續呢？

分段積分？好的，那麼如果分的段是無窮多的呢？分段有限但非常多每一段自變數和函式都很複雜，又或者是，分段無限多怎麼辦？

完蛋了，黎曼積分只能慫了。但是對於有的特定情況，比如，自變數定義域是無限個集合的並集的情況，哇，這裡就要引入可數集的概念了，實變函式的前兩章就開始了。簡單找幾種特殊的黎曼積分不可積或者積起來很麻煩的函式嘗試用不同的方法後，人們感到疲憊不堪，照這樣下去何時是個頭啊，於是就想更廣義的積分來搞定普遍的黎曼積分不可積或難積的函式。

然後人們就先在認同選擇公理成立的情況下，假設存在這麼個積分方法，比如一維是距離，二維是面積，三維是體積，起碼在Rn（n是上標）能廣泛成立的積分方法，那麼要先給那種間斷且無窮的區間這種簡單問題給解決了，比如f(x)=x^0.5在區間x=2k，k=1,2,3,....這種函式，怎麼去積分？

更不用說數學家們當時奢望對於更複雜集合也有相同的積分方法抱有多大期望了。因此人們開始著手先給這樣的區間集合定義乙個普遍適用的度量方法，比如這個測度的對映平移旋轉不變性，比如T(x)=T(ax+b)之類的，結果，遺憾的是，連R3上都不一定能全部滿足人們最初美好的設想，因為粗現了基於Hausdorff的工作上的Banach-Tarski定理（也被習慣性稱為Banach-Tarski悖論，即著名的一球變兩球問題，其實並不是悖論，只是他違背了一般人的直觀經驗，所以被稱為悖論）。因此人們發現，繞了一大圈，還是回到了學習黎曼積分的老路，那就是，現實是殘酷的，沒有最基本的統一的方法。

然後人們構造了最接近最初設想的積分，那就是勒貝格積分了，對應的積分「定義域」的測度，叫勒貝格測度，不過勒貝格測度並非測度論後的唯一測度。因為可能解決一些特殊問題時引入其他測度更方便，就好比我們解有些解析幾何時用極座標而非更普遍的三角函式座標。然後和黎曼積分一樣，研究哪些重要函式勒貝格可積，哪些不可積，搞了半天，我們還是在做逼格更高點的微積分啊，媽蛋。

在某種角度上，黎曼積分可以說是勒貝格積分的一種特殊情況，比如在一維實函式集上，只要函式是黎曼可積的，那麼他就是勒貝格可積，而且積分值還是一樣的。

好了我基本上就學到這裡了，慚愧所學有限，記得住的也很有限。國內外很多教材編寫的很難以理解，可能是因為其不是按照這個學科如何產生的這樣的邏輯順序來的，對於數學學科來說，歷史順序也就是邏輯順序。所以可以看陶澤軒的《實分析》，大多都是按照邏輯順序，一步乙個地樁打得牢牢實實的來闡述的。

而且個人認為，通過數學分析和實變函式的學習引導我們真正進入實分析和高等數學的殿堂，去自己探尋康托爾，黎曼，希爾伯特，哥德爾們經過一百多年締造的分析學王國，才是學習這門課程的真正意義所在。

4樓：

搞清楚這三件事情，就是實變函式的核心。

5樓：慕容朝顏

學了兩遍實分析來拋磚引玉【我不是學霸更非學神請輕拍】

個人感覺首先是測度理論，圍繞可測集與可測函式的一系列問題與定理，主要定理應該有Little wood, Egoroff, Lusin等。

然後就是Lebesgue積分的工作了，推廣了Riemann積分，定義步驟是簡單函式在有界集，有界函式在有界集，有界函式在無界集，無界函式。這裡有核心的四個極限定理，Levi, Fatou, Lebesgue dominated, Vitali。

接下來有積分就應該有導數，Vitali covering定理和Lebesgue微分定理保證了至少單調函式在可數集外是連續的（大概是吧有點忘了這裡），然後引入了可以定義導數的有界變差函式，還有牛萊公式成立的絕對連續函式。

剩下的就是一些掃尾，在其他的泛函，測度論會重新系統學的東西，比如Lp空間以及範數相關不等式，（臭名昭著的）乘積測度與Fubini, Tonili定理……俺還木有上這些後續課程，恕不能詳述。

如果不是方向是分析，學十遍只是戲言啦……別被它嚇住了少年~干巴爹~

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