1樓：萬物之李
數學和物理中處理複雜問題的方法通常是將其處理為簡單問題。多值函式值域中存在一種特殊點稱為支點，即自變數圍繞支點走一圈或多圈回到原值，但變數並不回到原值。
注意到此時自變數雖然回到原值，但是輻角增大了2pi或其整數倍 ,索性認為這是兩個或多個不同復平面上的與同一復數值相應的複數代表點。這些復平面構成的集合就是黎曼面。
2樓：Hiloxiko
黎曼面把乙個二維復函式的形象化了，包括函式的枝點和割線。你單純拿乙個復平面畫多值函式是沒法正確畫出來的，譬如你繞著乙個枝點畫一圈割線，或者畫乙個圍道，在復平面上它或許是閉合的，但在黎曼面上它並不是閉合的，因此對多值函式的很多計算有時必須限定在某乙個單葉上進行。另外，用拓撲的視角來看黎曼面是乙個一維復解析流形，或者按實部和虛部組合的定義了良好復結構的二維實流形。
你可以用群論的知識對它進行更抽象的操作。具體可以參考：
至於物理意義，我個人感覺，大概黎曼面和Yang-Mills場有關(電弱規範場是 的)；以及它可能憑藉其拓撲性質描述一些粒子在空間中的運動。但這在數理方法中好像並沒有被提及。
補充，哈密頓相空間中雙曲不動點就是在黎曼流形上給出的。
3樓：Multiverse
最近也是剛剛學多值函式，分享下自己的一點感受吧。
個人感覺黎曼面只是一種視覺化，同樣的目的也可以通過規定路徑達到，至於題主問的物理意義我並不知道物理的例子，也許只是自變數的一種區分吧。
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Ahlfors Univalent Functions and Teichmuller Spaces,Lehto Virtanen An Intro to Several Complex Variables,Lars Hormander 清華大學鄭建華教授的 復變函式 我自己大學時代復變函式學得極差...