1樓：夢憶
問題的提出
在最開始探索時，用了乙個簡單的方法求得一組滿足條件的數列因此確認其中乙個上界為278。
然後，使用窮舉法求得，當 時，問題的最優解並非是 ，而是 ，容易看到，該數列的最小項並非等於 1，故可以確定，數列的最小項等於 1 並非最優解的必要條件。
因此產生對該問題的進一步思考。
問題的思考
易得，乙個 項的數列 ，假設 按從小到大排列，求該數列不超過 3 項的和，將這些和組成乙個新的數列 ，易得數列 的項數和為
因為數列 的元素為非負整數，故數列 的元素為非負整數為使得數列 的項不重複，則數列 的最大項
易得得數列$A_n$的最大項
而當時，
當，數列 的各項的下界為
該問題其中一組滿足條件的解
非最優解，待更新。。。
2樓：
這題不好做，我還沒想出什麼好辦法。
但我可以優化一下 @三川啦啦啦 以及提問者得到的上界。
為了減少字數，令 為「任意兩大小不超過3的子集和不同」。
前者給了乙個數列 滿足 0)" eeimg="1"/>。這樣集合 滿足 。這個數列前十項是 1, 2, 4, 8, 15, 28, 52, 96, 177, 326，從而給出 326 的上界。
提問者得到的上界是 278。我不知道這是怎麼算的，但如果程式設計序，令 為最小的使 滿足 的正整數，那麼就會得到前十項是 1, 2, 4, 8, 15, 28, 52, 96, 165, 278。
下面令 。任意正整數都有唯一的 形式的表示，其中 ，並且對任意 ， 。存在性：
假設 都可以表示；如果 那麼它顯然可以表示，否則我們知道 可以表示，然後把 加到裡面就行。唯一性：假設乙個正整數有兩個表示，先把兩個表示共同有的那些 刪掉；下面，可以用數學歸納法證明任何只使用 表示的數都小於 ，因此現在兩個表示都是空的，證畢。
這樣集合 滿足題目要求。證明：
(i) 這裡任意兩數不等。
(ii) 最小的兩數之和大於最大的數 ( 2b_n-b_-b_-b_=b_n" eeimg="1"/>)。
(iii) 如果 ，那麼 ，因此這兩個大小為2的子集相等。
(iv) 如果 ，那麼 ，這與上面的唯一表示定理矛盾（包括相鄰的情況，因為可以用遞推公式把相鄰的三項合起來，再用上面的定理）。
(v) 如果 ，那麼 ，這樣要麼這兩個大小為3的子集相等，要麼這與上面的唯一表示定理矛盾。
這種方法給出的 前十項是 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, 81, 149, 274，所以乙個滿足 的數列是 274, 273, 272, 270, 267, 261, 250, 230, 193, 125。
這個方法一直到 的時候給出的都是最佳數列。但在 的時候，這個方法給出了 44, 43, 42, 40, 37, 31, 20，而暴力搜尋得到的最佳數列是 3, 6, 12, 22, 41, 42, 43。所以還有優化的空間。
因為暴力搜尋效率很低， 就很難暴力找出最佳數列了。但我們知道的是，我的方法還有很大優化空間，因為 的時候 234, 233, 232, 230, 227, 221, 210, 190, 153, 95 是乙個滿足 的數列，比我的方法的上界低了40。
最優數列：
n = 1: 1
n = 2: 1, 2
n = 3: 1, 2, 4
2, 3, 4
n = 4: 3, 5, 6, 7
n = 5: 3, 6, 11, 12, 13
6, 9, 11, 12, 13
n = 6: 3, 6, 12, 22, 23, 24
11, 17, 20, 22, 23, 24
n = 7: 3, 6, 12, 22, 41, 42, 43
n = 8: 6, 12, 23, 40, 68, 70, 71, 72
n = 9: 1, 2, 30, 56, 68, 91, 106, 110, 114
5, 10, 20, 40, 66, 90, 112, 113, 114
5, 10, 36, 52, 74, 94, 112, 113, 114
n = 10: 5, 10, 20, 40, 75, 109, 143, 145, 152, 161
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