為什麼齊次線性方程組只有零解的充要條件是秩等於列數？求解釋？

1樓：韓wn

齊次線性方程都有零解，只有零解說明解唯一，就是零解，那麼有效方程個數也就是約束條件必須多餘未知數個數，不然就有自由的了，表示成行秩＞＝未知數個數，三秩相等，就是列秩＞＝未知數個數n，又列秩（m×n介列秩最大為n）＜＝n，所以列秩＝未知數個數，即r＝n

2樓：暨厥

這個問題如果從線性變換的角度來理解比較容易。

齊次線性方程組（其中為階矩陣）的幾何意義在於把維空間中的向量線性對映到維空間中的向量。當是（維）時則為齊次線性方程組。

顯然，當為（維）時方程必定成立，這是因為零向量不管被對映到什麼維度的空間，仍然是零向量。

如果不是零向量，此時要使得成立只有一種情況，那就是被對映到了與其垂直的子空間內。比如，三維空間內的某個向量被對映到了與其垂直的某個平面內，二維空間內的某個向量被對映到了與其垂直的某條直線上。

為了使得非零向量的可以被對映到與其垂直的子空間內，的秩數必須小於其行數（）。反之，只能為零向量時秩數則為（秩數不可能大於）。

3樓：俊俊俊俊俊凱

aX1+bX2+....+nXn=0 ，這種方程構成的齊次線性方程組，顯然有X1=X2=......=Xn=0的解。即齊次線性方程組必有零解。

秩就是有效方程組的個數，列數就是未知量的個數。當未知量的個數等於線性方程組個數時肯定能求出唯一的解。

於是，齊次線性方程組的秩等於列數時，即方程個數等於未知量時，有零解，且零解為唯一解。

4樓：喵小黑

設方程有m行n列，為Ax=0，則A是乙個n維空間到m維空間的線性對映的矩陣。

方程組只有零解表明這個對映是單射，那麼值域也是n維空間，即秩等於n

5樓：看風景的人lsy

齊次方程組是Ax=0。Ax=（a1,a2,...,an）(x1,...xn)^T=x1a1+...+xnan。Ax是A的列向量的線性組合

只有零解，說明A的列線性無關。所以，rank(A)=n

6樓：shinbade

前面答的都挺好，我也提個思路供參考。

如果方程組的秩小於列數（秩不可能大於列數），那麼，可以認為這個方程組的變數數多於方程數，那這個方程組的解就多了，會形成「解系」，無窮多個解，而且，這些解中，可以有零解，更多的是非零解。

譬如，方程組的秩為3，但變數有5個。你就可以將多餘的兩個變數任意指定數值，然後，再解這個三元線性方程組（非齊次），大多數情況下都有非零解，極個別情況無解或解為零。可見，原來的那個方程會有很多非零解。

7樓：王憲棟

若秩r小於列數，即小於未知量的個數n，則基礎解系包含n-r個向量，於是有非零解。另一方面，若有非零解，則n-r大於零，即，秩小於列數。

這個推導用到基礎解系的存在定理。

也可以這樣說明：把多餘的方程去掉，剩下的方程或者說方程的係數向量線性無關。此時，方程的個數等於秩，它小於等於未知量的個數。

若相等，係數矩陣是可逆矩陣，只有零解；若不相等，必有自由未知量，從而有非零解。

8樓：Bayern Munchen

不一定是秩等於列數，等於行數也可以。

正規的證明方法，可以參考書本，但可能不好理解（可能你是看不懂書本說什麼才問的吧…）

可以這樣想，乙個矩陣的秩可以理解為進行行變換（或列變換）後非0行（列）的個數。而進行行變換，其實可以認為是解多元一次方程組時的加減消元。舉個例子，當你加減消元後，發現有乙個方程為0=0或者出現2=0的情況，那這個方程組顯然是沒有唯一解的。

0=0，意味著方程組的條件不足夠，每乙個未知數不能求唯一解，但有多解。

2=0，意味方程無解。因為2=0不可能成立，方程無解。

而如果加減消元後，剛好n元方程組對應有n條方程，每條方程沒出現上述兩種情況，則每個未知數都有唯一解。回到矩陣裡說，此時沒有非0行，矩陣的秩等於行數（列數）。

特殊地，當方程組寫在右邊的係數都是0，那麼這個方程每乙個未知數的唯一解，就只能是0，即為你說的零解。

而係數不為0，則不是全部未知數的那個唯一解都為0。