1樓：漁歌
設任意乙個 的矩陣A，當它行滿秩時，即 時，A的free variables（自由變數）就有n-r個也可以寫成n-m個。
如果A不是方陣的話（ ），那麼AX=b就只存在無窮多個解
因為，此時n-r不等於零，即存在free variables（自由變數），這就意味著AX=0的解不止有零向量，即AX=b的解為 ，所以就存在無數個了。
如果A是方陣的話（r=n=m），那麼AX=b就只存在乙個唯一的解
因為，沒有free variables（自由變數），有n（此時n=m）個pivot（主元），也就是沒有那個特解，所以這時的X唯一。
類似的結論還有兩個：
對於矩陣A，如果r=n對於矩陣A，如果r
2樓：junjun
我來說得通俗一點
我們解線性方程組 ，最基本的做法是什麼呢？是將 與 拼成乙個增廣矩陣 ，然後對其做初等行變換，化成乙個行最簡矩陣。
考慮一下什麼時候會無解。想象一下，如果我們化到最後的行最簡矩陣中，最後一列中有乙個元素（b中元素的乙個線性組合）不為零，而這個元素所在的行中其他元素都為0，那麼此時顯然無解了。因為你不可能對一堆0做線性組合來得到這個非零數。
那麼方程組無解意味著什麼呢？意味著在對矩陣A做行變換的之後，有一行可以變為全0，也就是該行可以被A中其他行線性表示，也就是說，A不滿秩。
反過來想一下，如果A滿秩，那就一定不會發生上述這種情況，自然也就有解了。
3樓：善財童子
如果係數矩陣行滿秩，為方便理解，可分兩種情況說明：
(1)係數矩陣行滿秩，且行數等於列數，即方程的個數等於未知數的個數，即係數矩陣是方陣，又因為係數矩陣行滿秩(因為是方陣，此時叫滿秩即可)，所以係數矩陣可逆，方程必有解，這種情況下有唯一解。
(2)係數矩陣行滿秩，且列數大於行數，這就說明方程的個數小於未知數的個數，所以一定有自由變數，那麼方程肯定有解，這種情況下有無窮多解。
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