1樓：Strong
A=（a1,a2......an）,X=(x1,x2.......xn)`，AX=（a1,a2......
an）X=a1x1+a2x2+......anxn=0,由於a1,a2......an線性無關，x1=x2=.......
=xn=0所以X=0只有0解
2樓：aboveground
從幾何直觀角度解釋，ax理解為內積，解ax＝0相當於找與a正交的向量空間，總共為n維空間，如果a滿秩，a為n維，那想在n維空間找與n維空間正交的空間，那只能是0維的，也就是只有零解，這也是n－ra的意義
3樓：天下無難課
@Rewind 解說的夠全，夠通俗。
從向量組線性無關的角度解說，如果對於乙個向量組A(a,a,…a)，你用一組係數X來對a們做組合，得到xa+xa+…+xa=b。當b=0時，如果a們是線性相關的，則X可以不是全為零，就讓這個等式成立，這是向量組A線性相關的定義。但如果A組的向量是線性無關的，則只有X全部為零，等式才成立。
矩陣A就是乙個向量組，每個列向量是組員，X是該組的係數；而說A滿秩，就等於說A裡的列向量都是線性無關的，根據線性相關和無關的定義，只有X全都是零了，等式才成立，也就是Ax=0只有零解了。
4樓：slamer
我們可以從方程組的概念理解，先說結論；n階方陣滿秩表示n個「有效」方程組，有唯一解，又因為滿足ax=0，所以只有零解。
有效是啥意思呢，例如我們求解三個未知數需要（至少）三個方程組求解，（暫時不考慮超定方程組，這個求解需要最小二乘法）但三個方程組中有乙個方程經過高斯消元後和剩餘兩個方程組長得一樣，那麼就認為該方程組無效，反之消元後找不到一樣的方程，也就說是有效。
n階方陣有n個有效方程組有啥好處呢。它就是，方程組進行高斯消元後，必定會得到乙個n階的上三角矩陣
我們從消元後矩陣最後一行開始向上求解向量X（x0，x1.......xn），可以看出X向量最後元素xn=0，依次向上求解，xn-1依賴xn求解，向上即可得X向量為0向量。
如果想理解更多相關知識，移步 @Heshawn 如何理解矩陣的「秩」。
5樓：家蒙政
很簡單，零解肯定滿足該方程吧。
如果還有乙個非零解，意味著可以找到某個線性組合，讓方程一邊等於0，那麼這跟方陣滿秩是矛盾的。
或者說，a滿秩時，a逆唯一存在
等式兩邊左乘a逆，
x=a逆×O=o
6樓：泉奈
A為滿秩矩陣時，Ax＝b中，向量x到向量b是雙射，是一一對應的。0只能對映到0。
A非滿秩時，x到b是單射，卻不是滿射，是多對一的關係。有多個x對映到0，也可能出現某個b無解的情況。
7樓：Rewind
AX＝0只有零解有兩層意思：1.方程有唯一解；2.唯一解為零解
為什麼只有唯一零解？最容易想到的思路：從解方程的角度去理解。
滿秩意味著什麼？從定義就知道這意味著列向量組線性無關，那麼矩陣可以通過初等行變換化為乙個對角矩陣（就像你算二元一次方程組一樣，行之間通過倍乘加減把方程組化簡為2*x1＝3，3*x2＝5這種形式，這個化簡過程本質上就是對矩陣進行初等行變換），因為初等行變換不改變矩陣的秩，所以化成對角形式也一定是滿秩的，即對角線元素都是非0元素。
既然係數矩陣已經化為了對角矩陣，那再進一步初等行變化就變成了單位矩陣E了，因此方程有唯一解是顯而易見的（等號右邊的常數確定了，那方程的解不就可以直接求出來了嗎？比如上面提到的例子，解出來就是x1＝3/2，x2＝5/3），這個就不多贅述了。
那為什麼唯一解是零解？因為如果你把常數項b代進去對增廣矩陣[A | b]一起進行行變換，如果常數項都是0，那不管怎麼行變換這常數都是0。所以當方程AX＝b裡面的b＝0的時候，那每乙個xi解出來可不都是0了嗎？
最後方程的解當然就是唯一零解了。
別的思路呢？有，也很容易，這回從線性無關定義走。上面也說到了，滿秩意味著列向量組線性無關，也就是不存在非全零係數x1、x2、……、xn使得x1*α1+x2*α2+……+xn*αn＝0（αi是A的列向量），這個等式寫為矩陣形式，就是AX＝0，那麼既然線性無關，X的係數就不能「不為全零」，意思就是X只能為全零，X＝0也就是方程唯一解。
還有沒有別的方法？也有。線代裡面抽象證明很常見的一種方法就是反證法，零解是方程的解是很容易驗證的，那如果我們假設有一組非零解X會如何？
可以從上面第二種證法逆向寫回去，那麼AX＝0就可以得到α1……αn是線性相關的，線性相關很容易推出r(A)≠n，也就是矩陣不滿秩，和條件是矛盾的，證畢。
初學者，用第一種去想是最容易的，因為你不一定對秩、解、線性相關等概念有清晰的認識，但是解方程是小學以來的祖傳藝能，是容易理解的。
8樓：uhometitanic
如果 是有限維向量空間，那麼對於任何線性運算元 均有：
，其中（這條式把 的basis representation寫出來就很容易證明）
是滿秩意味著 ，於是根據上式這是等價於 ，亦即只有零解
事實上，對於有限維向量空間 和線性運算元 ，以下句子全部等價：
可逆是單射
是滿射只有零解
存在唯一解
如果 是基底， 也是基底
如果 是 中的開集， 也是 中的開集
的matrix representation中所有行都是linear independent
的matrix representation中所有列都是linear independent
經過有限次elementary row operations後轉換成identity
經過有限次elementary column operations後轉換成identity
不是 的eigenvalue
的dual （定義為 ）可逆
以上所說的在無限維向量空間中不適用
9樓：孤獨的觀測者
向量左乘矩陣相當於對其進行線性變換
以三維空間的乙個三維向量為例，左乘滿秩的三階方陣相當於將其變換成另乙個三維空間座標系下的向量，只有零向量在這種變換下能變成零向量。
（以三維空間為例，你可以很容易的理解這一點，對於左乘的矩陣，你可以將其拆成三個列向量，這三個列向量實際上是將傳統的三維空間座標系變換之後的座標系的基向量，你會發現向量x左乘E（單位向量）之後還是x，因為實際上x所處座標系等於沒有發生變換。）這是以幾何意義理解線性代數。
10樓：Water Model
n階方陣 滿秩，說明它的列向量可以構成n維空間的一組基，從而解 就是找到矩陣 列向量的組合，使得其等於n維空間中的向量
降到有幾何直觀的二維空間來看，就是在二維平面 上找到一組向量 和向量 ，使得在兩者不共線的前提下，有
明顯只能是
在n維空間我們可以利用反證法證明這樣的 一定是是矩陣 的第 列
不妨設存在不為 的 ，那麼根據原方程我們有由於 ，一定存在某乙個 ，據此，上式可變為，這樣 就可以被其他的向量線性表示，與方陣 是滿秩相矛盾，所以假設不成立，這樣的非零解 不存在，所以 一定為
設A,B為n階方陣,且AB BA A,證明 A 0 ？
亦可用李代數中的不變引理來做 顯然由對易關係知 A B張成乙個solvable Lie algebra 由Lie s定理知存在一組基使得他們同為上三角陣帶入已知得到A對角線均為0 故A的行列式為0 2prime 反證加上算I A 1A的trace發現是0就是kuchler答案後面跟上B和B I相似的...
為什麼當矩陣行滿秩時，非齊次線性方程Ax b一定有解？
漁歌 設任意乙個 的矩陣A，當它行滿秩時，即 時，A的free variables 自由變數 就有n r個也可以寫成n m個。如果A不是方陣的話 那麼AX b就只存在無窮多個解 因為，此時n r不等於零，即存在free variables 自由變數 這就意味著AX 0的解不止有零向量，即AX b的解...
為什麼n階矩陣為 0的K重特徵值大於等於 0的線性無關特徵向量？
已登出 乙個語體教的問題，表達意思都說不清楚。看了幾遍才領悟到，原來問題是 為什麼特徵值的幾何重數不大於代數重數。丘維聲的高等代數上冊第五章有詳細的證明，翻書去吧。關於代數重數與幾何重數的關係，這裡給乙個比較直觀的理解 乙個n次特徵多項式方程一定有n個根 按根的重數計算 乙個線性對映不一定有n個線性...