1樓：張景斌
線性方程組的係數矩陣的秩為r，嚴格意義來說，線性方程組沒有秩。基礎解系的秩為n-r.個數也是n-r。
本質上乙個是解空間的核，乙個是解空間的值域。值域的一組基的原像與核的一組基構成矩陣A張成的空間的一組基。
2樓：雲山亂
線性方程組的秩和基礎解系的秩當然不一樣。
矩陣的秩對應著矩陣行空間的維數，所以秩是r
所謂基礎解系，指的是拿這個矩陣當係數弄出來個方程組，方程組的通解。這個解的幾何意義就是所有垂直於矩陣行空間的向量，所以秩是n-r。
3樓：天下無難課
對於乙個n元線性方程組的矩陣式y=Ax，我們要理解A的秩與基礎解系的秩之間的關係，最好先明確y,A和x的分布情況。
首先，x可以在n維空間裡任意取值。
其次，看A中的向量之間的關係，它們是線性無關的，還是相關的。以乙個3維空間為例，如果A滿秩，則A裡的三個列向量就不共線，不共面，可以用它們張成整個三維空間，或者說，用這三個向量可以組合成三維空間裡的任何向量。
但如果A不滿秩，比如r=2，則三個向量是共面的，它們最多只能張成乙個平面；如果r=1，它們就只能張成一根直線。
最後是y的分布。y的值取首先決於x，本來x不同了，y也會不同，在A滿秩(張成整個空間的情況下)時，每乙個x就有乙個不同的y=Ax。
但在r=2時，所有的Ax都是分布在乙個平面上的(A只能張成一定二維平面)，也就意味著y都分布在乙個A平面上，如果另外乙個矩陣B也是二維的，而B≠A，則y=Bx分布在另外乙個平面上。
同樣，在A的r=1的情況下，所有的y=Ax就只能分布在一根A直線上(無論x取了啥值)，如果有另外乙個矩陣B，且B≠A，則y都分布在B直線上。
解的分布是啥情況？解是啥？解就是在已知y和A後，我們要知道的那個能使y=Ax的那個x麼。
本來x隨便取，取了乙個x，就有乙個y=Ax，現在反過來，我們知道y了，債有頭，冤有主，讓我y成今天這個樣子的x是哪個？
好了，在A滿秩的情況下，y與x是一對一的關係，每個x都得到乙個不同的y，x就很容易反過來找到了，這在數學上就是有乙個表示式x=Ay。
而在r=2的情況下，因為取不同的x，結果都擠壓到乙個平面上去了，Ax的過程相當於把乙個3維立體物體向乙個平面上投影，所有分布在投影線(與平面垂直)上的點(向量的端點)都投影到平面上的一點去了，這時你若拿著乙個y=b要問(求)在投影(乘A)之前的那個x是哪個(在公式上就是使Ax=b成立的那個x)，你就咋也說不清了，因為有太多x(分布在一根直線上的所有點)都可以滿足Ax=b，這麼一大幫子x就被叫做Ax=b的乙個解系，而其中任何乙個x則都是Ax=b的乙個特解。
同樣，當A的r=1時，所有的Ax都分布在一根直線上，對於y=b，有Ax=b。哪些x會從3維經過投影成為向量b呢？就是那些分布在過b端點並與b垂直的平面上的x。
你想麼，從原點到這個平面上的每個點都是乙個有向線段(向量)，這些向量向b所在的直線的投影都是b，這個「投影」的矩陣表示式就是A，故有y=Ax=b。那麼，當你要反過來找能使經過A使y=b的x是誰的時候，你也是找不到唯一的乙個債主的，你找到的是一大幫子，你找不到唯一解，而是乙個「解系」。
解系就是這麼個情況。那麼解系的秩與A的秩又是啥關係呢？從上面的例子可以看出來，當A的r=2時，y就只能分布在乙個二維空間上，而這時，對於每乙個具體的y=b，x是分布在一根直線上的，x只能在一維的範圍內變化，所以這個解系(解空間)是一維的。
當y=c時，x就分布在另外一根直線上，線(解系)雖不同，但解系還是乙個一維空間。而且，b解系所在的直線與c解系所在的直線是平行的。其中一根特別的直線就是過零點的直線，它上面分布著使Ax=0成立的所有x。
在0解系(齊次性方程組的非零解系)上分布的x與其它解系的不同之處在於，其它解系中，x一頭在零(原)點，一頭在一根直線上(解系的空間點位)，而在0解系上，x的頭尾都在這根直線上。這事沒啥特別意義，但可以區分出幾個向量都在一根直線上與幾個向量分布在一根直線上的區別，「在」則向量共線，「分布在」則僅僅指向量端點在同一根直線上。
A的r=1時，能使y=Ax=b的x分布在乙個平面上，解系的範圍就是乙個二維空間。在推一步，當A的r=0時，所有y=0，y=0·x=0，所有x就都是y的解了，解系的範圍就是3維空間了，解系的秩就是3。
以上俗話說可見，A的秩(也就是y能分布到的空間的秩)與解系的秩(相應的x分布範圍的維度)是兩件不同的事，它們在數量上是此消彼長的，它們的和為3。
這個推論對於n階矩陣A都是成立的。
4樓：「已登出」
題主對線性代數的基本概念掌握不到位。
1，線性方程組沒有秩的說法，線性方程組的係數矩陣才能談秩。
2，n階線性方程組Ax=0的解空間的維數，或者說它的基礎解系的自由變數的個數，或者說它的解空間的乙個基包含向量的個數，確實跟它的係數矩陣的秩有關。我們把係數矩陣A的張成空間稱為像空間，記作ImA，Ax=0的解空間記作KerA，那麼有dimKerA+dimImA=n.
也就是說Ax=0的解空間(或者叫A的核空間，KerrA)的維數加係數矩陣的秩=n。
解線性方程組的時候，可以分用主元表達自由變數嗎？
鄭blabla 演算法 對方程組Amn x 0，A秩為r 通過行變換將A化成行階梯，去掉全零行得到Brn。任取B的r列，如果它們組成的矩陣滿秩，那這幾列就可以做主元，餘下就是自由變數。理解 乙個齊次方程組Amn x 0，先去掉m r個無用方程 通過行變換 再去掉n r個自由變數 通過設定它們為常數 ...
線性方程組的通解是唯一的嗎？
一期一會 可能不唯一，對齊次 或者對應的齊次 方程組係數矩陣作行變換成為行最簡形，階梯上 有乙個以上非零元時就可以有不唯一的解系，且對於非齊次方程，通解的組分裡有乙個任意的非齊次方程的特解，這個選取很自由，任取乙個特解就可以構成乙個通解 fever wong 對於齊次線性方程組Ax 0來說，如果A列...
為什麼齊次線性方程組只有零解的充要條件是秩等於列數？求解釋？
韓wn 齊次線性方程都有零解，只有零解說明解唯一，就是零解，那麼有效方程個數也就是約束條件必須多餘未知數個數，不然就有自由的了，表示成行秩 未知數個數，三秩相等，就是列秩 未知數個數n，又列秩 m n介列秩最大為n n，所以列秩 未知數個數，即r n 暨厥 這個問題如果從線性變換的角度來理解比較容易...