1樓：穩重
首先做一點補充，這個反對稱矩陣對應的域的特徵應滿足 ,否則取 矩陣 ，它也是反對稱矩陣，而它的秩為奇數（在這個域裡面 ）
其次，考慮到反對稱矩陣的性質，我們自然有這樣的想法：如果 ,那麼 ，從而
如果 呢？
讓我們介紹乙個利用初等行列變換的方法
引理：，若 的前 行、前 列線性無關，那麼由前 行前 列組成的 階方陣滿秩
證明：由矩陣秩和行列向量組的秩的關係，我們知道前 行、前 列構成的向量組為極大無關部分組，剩下的 行向量， 列向量都可以被它們線性表出，於是經過初等行列變換，我們可以把矩陣化為這種形式： （帶括號是因為可能有 本身滿秩），同時 的秩不變，而此時 ,引理得證
最後回到題目，令 為反對稱矩陣，我們可以通過行列調換，在不改變反對稱性的前提下（文末證明）,將A化為 的形式，其中 , 滿足引理的條件，故
由矩陣轉置的行列式不變 ，有
由 為反對稱矩陣，有 ，從而
由此可知 為偶數，命題得證
對於行列調換的補充：首先，我們可以在 行中找到線性無關的 行，將行標從小到大依次記作 ，然後，我們將第行和第 行調換位置，再將第 列和第 列調換位置，我們可以證明此時反對稱性不變，依次進行下去，最後將第 行列和第 列互換，得到我們想要的形式.
如何證明兩個矩陣之和的秩小於每個矩陣秩的和？
不言而喻。矩陣乘法的本質是什麼？秩就簡單啦，前面說過空間 到 的線性變換 可以寫成 到 基元變換的組合，那麼這個組合當然可以有很多種寫法，自然會問最少需要幾個基元變換？這個最少個數就是變換 的秩 先介紹乙個重要的定理 定理 設 是數域 上的乙個 矩陣，或者說，令 為 到 的乙個線性對映，那麼 式中，...
為什麼要引入矩陣的秩這一概念？
小張同學 landsat99 話說矩陣 向量空間作為一種代數結構，秩是最重要的屬性之一。明確了秩，才能進一步判斷矩陣向量組的其他屬性和運算特性。秩算基礎中的基礎部分，整個線性代數都繞不開這個概念。 偽小人 因為矩陣的秩是反映矩陣本質的乙個重要屬性 矩陣的秩 矩陣行秩 矩陣列秩 行列式秩 矩陣所對應線...
既對稱又正交的矩陣一定是對角矩陣嗎？如果是，如何證明？
否.以下三個命題等價 第乙個 對稱且正交.第二個 其中 是正交矩陣,是對角陣,且對角元都是1和 1.第三個 其中 是乙個投影矩陣 或冪等矩陣 即滿足 的矩陣. 靈劍 我給乙個滿足條件的所有矩陣的另一種表達形式 其中U是n n的矩陣，而V是個m n的矩陣，其中0 m n，且充分性 顯然U對稱，且 必要...