1樓：
否. 以下三個命題等價:
第乙個: 對稱且正交.
第二個: , 其中 是正交矩陣, 是對角陣, 且對角元都是1和-1.
第三個: , 其中 是乙個投影矩陣(或冪等矩陣), 即滿足 的矩陣.
2樓：靈劍
我給乙個滿足條件的所有矩陣的另一種表達形式：
其中U是n*n的矩陣，而V是個m*n的矩陣，其中0<=m<=n，且充分性：
顯然U對稱，且
必要性：
對於任意乙個滿足條件的矩陣U'，因為對稱所以可以對角化，對於任意向量x，有U'U'x = x，包括U'的特徵向量，意味著所有的特徵值必須為1或者-1，取特徵值為-1的一組單位正交的特徵向量拼成矩陣V，按照上面的公式計算得到U，可以發現U和U'有完全相同的特徵值和特徵向量，因此兩個矩陣是相等的。
m=0的時候U=I，m=n的時候U=-I，但其他情況下U不一定為對角陣。m=1的情況下U是householder矩陣。
直觀上來說，這個矩陣的意義是：將整個有限維空間分解成兩個正交子空間A和B，將輸入向量分別投影到A和B，然後將A中的成分保持不變，B中的成分反向。這可以看成是某種關於子空間A的映象：
A是零空間時就是中心對稱，A是一維空間時就是繞軸旋轉180°，A是n-1維空間時就是關於超平面映象，依此類推。
3樓：Zhao Cheng
易證這樣的矩陣等價與它可以表達為PJP^T這種形式，其中P為正交矩陣，J是對角矩陣，並且J的每個元素只取1或者-1。
反例的話，比如二階矩陣，令J=diag(1,-1)，P為旋轉矩陣，只要旋轉角不等於90°的整數倍，那麼A就不是對角。
鄰域是一定是對稱的嗎？
鄰域不一定是對稱的。某些情況下可以找到乙個對稱鄰域，比如在度量空間你有乙個鄰域，就可以構造乙個球形鄰域。在度量空間中，是x 的鄰域，總可以找到乙個 的球形鄰域 滿足是對稱的。一般的拓撲空間就沒有對稱性這一說。在拓撲空間任何一點，可以找到任意乙個開集 覆蓋點 乙個集合 如果滿足條件 就是 的鄰域，B是...
滿足傳遞且對稱的關係 一定是自反的嗎？
冰水一杯 對稱性 存在和 使得 如果a與b相關，那麼b與a相關 傳遞性 存在，和 使得 如果a與b相關且b與c相關，那麼a與c相關 因此，如果乙個關係具有上述兩種關係，則 對稱性和傳遞性 存在和 使得 即 由此我們才推出存在和 使得 如果a與b相關，那麼a與a相關 注意量詞存在代表著並不是所有的和 ...
如何證明反對稱矩陣的秩一定為偶數呀 ？
穩重 首先做一點補充，這個反對稱矩陣對應的域的特徵應滿足 否則取 矩陣 它也是反對稱矩陣，而它的秩為奇數 在這個域裡面 其次，考慮到反對稱矩陣的性質，我們自然有這樣的想法 如果 那麼 從而 如果 呢？讓我們介紹乙個利用初等行列變換的方法 引理 若 的前 行 前 列線性無關，那麼由前 行前 列組成的 ...