1樓：
的等高線就不是閉合的。
然而地球表面同胚於, 所以等高線都是閉合的, 原因看其他答主.
(如果你取的「取景框」不對，總可以挪動或縮放「取景框」以看到整條閉合的等高線.)
2樓：xinggu
謝 @wyyvid 邀。原問題如下：
就地圖上那個等高線
這個命題不完全準確。例如下圖：圖中等高線不閉合。解決方法有二：
1）把地圖補全。
2）將地圖邊界被大括號括住的部分當作等高線的一部分。
其中，1）在二位歐式空間中有可能做不到，因為等高線可以向無窮遠處延伸。為方便起見我們暫時不考慮此種情況，並採取方法2）。
設地圖作為乙個平面上的點集M，則有函式 f：M----> R，對M上任意一點取高度。其中R為實數集。則f為連續函式。
設一條等高線C標定的高度為h，則f在點集M-C 的取值一定在 R-h上。後者為非連通空間。於是由f 的連續性，M-C為非連通空間。由Jordan曲線定理，C為閉合曲線。
如果犧牲一點嚴格性，則有以下較為初等的解釋：
如果h等高線C不閉合，則有經過 C的「缺口」的一條曲線，既經過高度大於h的點，又經過高度小於h的點，但不經過高度恰好為h的點。這與連續函式的介值定理相矛盾。
3樓：
地圖是平面的閉子集。
高度是地圖上的光滑函式。（然而事實上這是不合理的近似）根據正則值原像定理和Sard定理：絕大多數的等高線是一維光滑流形。
一維光滑流形根據分類定理，一定微分同胚於閉區間；半開半閉區間；開區間；圓周。
現在需要假定你這個地圖是怎麼樣的
如果是乙個無限大的平面地圖，只有開區間和圓周。這個時候可能出現開的等高線，所以如果你想要閉合，需要一些條件，比如要求高度函式是逆緊的。當然你也可以把地圖緊化成一整個地球表面，這樣就不需要加條件了，而且也不會出現開區間。
如果是有限大（緊）的地圖，那會有閉區間和圓周。這兩種都是合理的，可以在真正的地圖上看到。
所以問題的重點在緊性和一維流形的分類定理。
4樓：dhchen
這裡的constant-rank定義是這樣的我們對於「地形」構造乙個乙個函式,表示每一點的水平面高度。那麼等高線的定義為，就是level set。 根據這個結果，如果函式是rank 1的（這裡的話就要求非退化），一定是codiam=1，即它是1維的嵌入子流形。
也就是一位曲線，它的閉合形來自這個函式的連續性。當然了，這裡的要求這個函式是光滑的，實際上不一定需要這樣強，當然了，你需要需要把光滑流形換成C^r流形。如果你從全球看的，這裡的可以換成球面.
對了這個的條件只是乙個充分條件，不是乙個最好的條件。比如rank 1這個條件有點強（就是要求全域性非退化的，可以通過取限制來弱化）。但是單純的連續是不夠的。
@xinggu 比如構造下面的連續函式：
， , , 2" eeimg="1"/>.顯然，這不是乙個曲線，這是乙個帶子。
還有這樣的有趣例子： @xinggu
， 可以把平面分成無限個不連通的區域。
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