1樓：嚴民
大家答案都是抄書，牛頓-萊布尼茲當年沒有這些「精妙」的數學，照樣有他們的公式。
真相在3.1.1節 http://www.
math.ust.hk/~mamyan/ma1024/lecture.pdf
當然這種論證有「嚴格性」問題，見3.2節，不光嚴格，而且緊追常識，還將多重積分一網打盡。
2樓：
如何分割區間，用黎曼和或者達布和定義黎曼積分就不回顧了，假設你知道實際上，可以直接用這種方法證明牛頓-萊布尼茲公式我採用另一種方法
定義1
設函式 在區間 上黎曼可積
定義函式
叫做變上限積分
定理1
函式 在區間 上黎曼可積
則變上限積分函式 在 上連續
證明：
取 這裡有 ，且
由黎曼可積的必要條件，函式 在區間 上有界存在 0" eeimg="1"/>，使得 對一切 恆成立則當 0" eeimg="1"/>時，有
當 時，有
從而接下來用ε-δ語言很容易敘述 的連續性定理2
函式 在區間 上黎曼可積，在某一點 處連續則變上限積分函式 在這點可微，並且
證明：
由定理1， 在點 處連續
則對任意給定的 0" eeimg="1"/>，存在 0" eeimg="1"/>
對任意 且
在 上求積分可得
即這裡取
則按照導數的定義，有
由此可以直接得到
定理3-1
函式 在區間 上連續，則
對任意 成立
定理3-2
函式 在區間 上連續，則 在 上具有原函式，且任意乙個原函式 都滿足其中 是乙個常數
代入 ，顯然可得
從而有由於它對任意 恆成立
代入 就得到
定理4 牛頓-萊布尼茲公式
函式 在區間 上連續，則
或者表述為：
函式 在區間 上可微，且具有連續導函式，則（這裡 是傀儡變數，換成了 ）
牛頓-萊布尼茲公式的條件可以弱化，比如讓 的條件降低為可積（即間斷點是零測集），其原函式是
原函式 的要求也可進一步減弱，比如只要求 在區間 上幾乎處處成立，即 是所謂的廣義原函式，牛頓-萊布尼茲公式依舊成立
3樓：芋圓公式
抄書豈不美滋滋，以下內容源自《數學分析》第4版第一卷，作者是B. A. 卓里奇，蔣鐸、王崑揚、周美珂、鄺榮雨等翻譯，周美珂校，高等教育出版社出版。
定義：設 是閉區間 上的黎曼可積函式。考慮這個區間上的函式
常把它叫做變上限的積分。
因為 ，所以 ，其中 ；因此，函式 對 有定義。
如果 在 上成立（ 作為可積函式在 上有界），則從積分的可加性和最簡單的估計得到：如果 、 ，則
從這一不等式得到 在 上連續。於是 。
引理：如果，而 在某點 連續，則函式 在這個點可微，而且成立等式
設 ，我們來估計差 。從 在 的連續性推出 ，其中當 時有 。如果 是固定點，則函式 作為可積函式 和常數 之差是區間 上的可積函式，以 表示量 ，其中 是以和為端點的區間。
根據假設條件，當 時，有 。記其中
因為所以 ，從而，當 時（但 ），有 。
這樣我們證明了：如果 在點 連續，則當位移 使 時，成立等式
其中 ，當 時。這個結果正說明函式 在點 可微且 。
引理最重要的直接推論是下面的定理。
定理：閉區間 上的每個連續函式 在該區間上都有乙個原函式，而且區間 上的函式 的任一原函式都有
的形式，其中 是乙個常數。
，因此，根據引理，函式 是 在 上的原函式。但是，同乙個函式在區間上的兩個原函式 和 只能相差乙個常數，因此， 。
為了今後應用的方便，我們把原函式概念作稍許推廣，採用
定義1：區間上的連續函式 叫做定義在該區間上的函式 的原函式（廣義原函式），如果最多除去有限多個點以外，在該區間上成立關係 。
根據這個定義可以證明：
定理1'：在閉區間 上定義的有界且僅有有限多個間斷點的函式 ，在該區間上有（廣義）原函式，而且 在 上的任一原函式都具有 的形式。
因為 只有有限個間斷點且有界，所以 ，從而，根據引理，函式 是 在 上的廣義原函式，而且，如已經指出的那樣，根據 ，函式 在 上連續。如果 是函式 在 上的另乙個原函式，則 是連續的，而且在由 的間斷點分割區間 而成的每個開區間內是常數。因此，從 在 上的連續性得出，在 上 。
定理2：如果 是有界且僅有有限個間斷點的函式，則 且
其中 是 在閉區間 上的任一原函式。
在閉區間上定義的僅有有限個間斷點的有界函式的可積性是已經證明過的。函式 在 上的原函式的存在性由定理1'保證，根據這個定理， 有 的形式。在 中令 得 ，由此
特別地這與要證的式子只是表示積分變數的字母不同而已。
關係 對整個分析學具有基本的意義，它叫做牛頓-萊布尼茲公式。
函式的差值 常用符號 表示，利用這個記號可將牛頓-萊布尼茲公式寫成如下形式：
由於當 和 調換時，這個公式兩端同時改變符號，所以該公式對於任何關係的 和 ，也就是，無論 還是 都是正確的。
4樓：喵小黑
既然已經有用積分上限函式的證明了我就貼個別的吧
注:F(x)的存在性可以從f(x)連續得到，但這涉及可積性的知識，為了不節外生枝，這裡直接把其存在性作為條件了
5樓：靈劍
乙個相對完整的思路：
引理：若在閉區間[a,b]上F(x)連續，在開區間(a,b)上F(x)可導且 ，則 ，C為某個常數
證明：（注意直接兩邊同時積分是迴圈論證）
若存在F(x)不為常數函式且 ，則必然存在
根據微分中值定理，存在 使得 ，且
得到 ，與前提矛盾。
因此必有
2. 引理：若在閉區間[a,b]上F(x)和G(x)都是f(x)的原函式，則F(x) - G(x) = C
證明：因為 ，由引理1即得
3. 定理：對於閉區間[a,b]上的連續函式f(x)，它的變上限積分是乙個原函式
證明：將它夾逼在區間的上下限之間：
取極限後，利用連續性，上極限和下極限都變成了極限，也就等於函式值，於是利用夾逼定理即得
因此變上限積分是乙個原函式
4. 牛頓-萊布尼茲公式：若[a,b]上的連續函式f(x)有原函式F(x)，則
證明：令 ，則由[3]知G(x)是f(x)的原函式，由[2]知因此即
由定積分定義得 ，因此
如果f(x)並不連續，僅僅保證黎曼可積，需要更複雜的一些定義和定理，主要思路是：
擴充套件引理1，證明在F(x)連續且幾乎處處可導，且可導時F'(x) = 0時，有F(x) = C（將F(x)分成連續可導的區間，每個區間上都是常數，再根據連續性得到是同乙個常數）
注意：這個擴充套件不成立（反例是康托函式），需要想別的辦法
擴充套件引理2到F(x)、G(x)幾乎處處可導且導數為f(x)的情況
將引理3中的f(x)變為可積函式
證明變上限積分符合「幾乎處處導數為f(x)」即可。
如何在本質上理解高等數學中的牛頓萊布尼茲公式，格林公式，斯托克斯公式，高斯公式之間的關係？
錢武聞 本質上是微分形式在邊界上的積分和在微分流形上的積分的等價性，邊界運算元和外微分運算元的對偶性，同調群與上同調群的對偶性。這一關係包含了整體與區域性的對偶關係。假設有基本的代數 拓撲和微分流形的知識，可以按照這個順序來逐步理解stokes theorem及其推論 Newton Leibniz,...
如何證明如下的公式？
趙戈19900225 基本思路就是對函式f x x a用拉格朗日中值定理，因為不等式出現四組區間，所以要用四次中值定理，在區間 n，p n，m n k，p k n k，m k 上分別用中值定理，有 f 1 p a n a p n f 2 m a n a m n f 3 p k a n k a p n...
古代的科學家，比如阿基公尺德，牛頓，萊布尼茲啊等等如果來到現代，有資格到大學做教授嗎？
帝釋清 你提到這幾位要麼是數學家，要麼是偏理論物理學家，事實上從他們的年代到現在，物理學理論並沒有走得太遠，不出乙個月就可以跟上。數學就更沒啥可說了，只有工具先進了。 教授是負責生產新知識的，而不是比誰知道的多。否則我的iPhone應該獲得諾貝爾獎。阿基公尺德，牛頓，萊布尼茲來到現代，以他們的智商，...