1樓：陪你看每乙個日出
原式即證
也就是記為（1）式
參考其他答主的證法，證明這類問題的一些通式就是構造方程。證明過程中多多少少會涉及到乙個問題：sinnθ和sinθ或者cosnθ和cosθ的多項式關係，這類多項式關係可以具體的去看切比雪夫多項式的有關內容。
我在這裡給出這類問題的乙個通式。
實際上我們有一般式
請問大家這個等式怎麼證明?
（關於這個問題其他答主的回答也很有參考價值，也提到了切比雪夫多項式）
如果在這個式子中直接將n替換成2n+1，可以直接得到如下等式，記為（2）式：
對比我們要證的（1）式，恰好就是a=1的情況，並且相比於（2）式左邊少加了k=2n+1這一項。
實際上我們把a=1帶入（2）式右邊可以發現分母為0，也就是無窮。究其原因，恰好是（2）式左邊k取2n+1時，
正是這個式子在a=1處取無窮大才導致了（2）式右邊在a=1處也取無窮，我們把這一項減掉並化簡，得到如下（3）式也就是
注意到在a不為1時，（3）式左右兩邊的函式都是連續且可導的，
而且（3）式左邊在a=1處每一項也是連續有意義的，所以可以說明a=1是（3）式右邊的乙個可去間斷點，對（3）式取極限就可以得到如下（4）式：
實際上注意到這個極限的分母關於a=1的階數為3，所以說使用洛必達法則三次就一定可以得到結果，具體計算過程就不展示了，可以得到
帶入（4）式並化簡可以得到
，也就是我們要證的（1）式。
2樓：泰勒貓99
我們要證明
其中求和項可以寫成
我們下面來證明
下面只證明前面的乙個，後面的與前面的證明相似。
令 其中
記住這個構造，它讓乙個求和轉化成了乘積，而乘積是比較好處理的。
於是 ，可以自己簡單地驗證一下。
接下來的問題就是求 了。注意以下事實：
以上式子是關於 的 次多項式，而且我們注意到時 那麼有
我們再計算
現在令 ，有
這種方法與其他答案的方法有一點相似之處，但是優點是很明顯的：我們可以隨便設定 的值，求出不同求和式的值，所以理論上我們得到了如下的公式：
你可以把這個式子化簡化簡，在我看來都一樣。
3樓：大魔導師
樓上有人提到複數法,但是應該想歪了,我們從正切入手後面的項我們不關心所以直接省略掉,前兩項是會用到的從而 是 次方程 的全部根
由於方程只有奇數冪,扣掉0根,扣掉負根,可得是 次方程 的全部根
由韋達定理,方程 的所有根的倒數和為
從而考慮到恒等式可得
4樓：姜小白71
很有意思的乙個問題，使用普通的複數方法恐怕難以解決這個問題，我也不走這條路了。讓我們效仿一下大數學家尤拉解決自然數倒數平方和問題的方法，嘗試著解決這個問題。
我們知道 可以表示為 的函式，即 , 表示 階多項式。
這裡 取奇數 。這個很容易理解，例如
同時我們知道 的零點為 以及
那麼 ,即
比較一下兩邊麥克勞林展開後 的係數，立刻有寫成題目要求的形式，即
最後把 代入，即得到
這就是題中的結果。
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