1樓：極簡高考數學
不請自來，極簡君對這個問題很有興趣.
我想題主的關鍵問題是，為什麼三角函式能夠跟圓有關.
這主要是因為圓中有兩個定理：
定理1：直徑所對的圓周角是直角
定理2：同一段弧所對的圓周角相等.
如此一來，我們不僅可以把直角三角形放到圓中，還可以很容易地將三角函式的直角定義，延伸到任意的三角形.
現在角度 正弦的定義就變成：直徑為1的圓中，圓周角 所對的弦長.
乙個簡單的定理，就把三角函式從直角三角形中解放出來.大大方便了天文學家們的計算.這就是為什麼三角函式跟圓有關係的原因.
而且通過這兩個定理，我們很容易推出正弦定理：
，其中R就是外接圓半徑，這就將三角函式和圓更進一步地聯絡起來.
第一步：從直角三角形解放出來，變成了任意三角形
第二步：從三角形中解放出來，成為角度的函式，2023年，德國數學家卡斯特內爾將三角函式定義為「每個角度所對應的數字」
第三步：角度也被解放出來，自變數不再是角度，而是任意實數
第四步：自變數不再侷限於實數，而變成了複數，這就完全是另乙個世界了.因為在複數領域，三角函式和指數函式是同乙個東西.
2樓：「已登出」
三角函式的乙個定義方法是：內角為x弧度，邊長為1的菱形，面積為sin x。你可以很容易的證明直角三角形兩邊之比的定義和這個定義等價。
邊長為1的菱形，直觀的看就是單位正方形被「壓扁」了吧。實際上，它可以看成是x軸不動，y軸旋轉了一定角度。結合一定的線性代數知識，直角座標系之間的線性變換，你也可以推導出菱形面積和三角函式的關係（實際上上面已經有人給出了嚴格的數學推導了），或者說你想要的三角函式和「單位方」「角度和旋轉」的關係。
那麼為什麼不用這個面積定義呢？因為不好用啊，用處也不大。用圓來定義，可以跟尤拉公式銜接，而且高維也能用；用面積定義也就是在初等幾何中方便很多，解析的情況下反倒很不直觀。
3樓：cvgmt
一條棍子長為 100，它與地面傾斜角為 60° 的時候，在地面的影子為 50，也就是原來的 50%，接下來，我們自然會問，傾斜角為 45°呢，投影多少?最後是 70.71，即 70.
71%，如果是 0°，影子就是 100% ，如果是 90°，影子沒了，就是 0% 等等。
這個投影就是 cos 函式。棍子長度固定，自然就是形成圓。
cos (或者 sin )引進的其中乙個用處就是描述質點作圓周運動在一條直線上投影的運動情況。
4樓：阿列夫零
為啥不能搞個單位方之類的呢
「單位方」，聽上去很滑稽，因為我們日常生活中，正方形上的點到它中心的距離不是乙個定值，何來「單位」一說？而圓的定義就是：平面中到一定點距離為定值的點的集合。
當我們定點取原點，距離取單位長度時，這個圓就是單位圓。所以我們寫下單位圓的定義：
到這裡很順理成章。不過，如果仔細想想，這裡缺了一環：距離的定義。
我們上面所有距離實際上都是指歐氏距離。平面上兩點 間的歐氏距離定義為
不知道有沒有讀者看到這裡會有些疑問：為什麼我們要「定義」歐式距離，而不是從一些更自然的前提下「推導」出歐氏距離呢？
其實，歐氏變換和歐式距離是緊密相連的。所謂歐式變換，就是從平面 到平面 保持任意兩點間歐氏距離的對映。實際上，我們可以選擇定義其中乙個概念，然後把另乙個概念作為推論。
現在，我們把歐式距離作為定義，那麼我們可以證明（通過歐式幾何，並不trivial，有興趣可以自己嘗試一下）（平面的）歐氏變換一定是平移變換和正交變換（反射變換、旋轉變換）的復合。
三角函式是平面旋轉變換的引數化。上面講到，（平面）旋轉變換是一種特定的歐式變換，它們不改變原點的位置、不改變座標系的取向（左右手座標系）。如果選定一組單位正交基 ，我們就可以把旋轉變換表示為 特殊正交矩陣對列向量的左乘：
其中矩陣 滿足約束：
我們把所有滿足條件 的 矩陣構成的集合稱為二階特殊正交群 。
條件（4）是退化的，即我們可以從（1）（2）（3）推知 ，而（4）明確了一種情形。
從未知數和方程的個數上來考慮，4個未知數一共提供了4個自由度，四個約束（其中乙個是退化的）減去了三個自由度，只剩1個自由度。因此我們希望通過乙個實數引數，旋轉角度，來引數化 。
由冪級數定義正弦函式、余弦函式後，我們可以發現，它們「正好」可以用來引數化上面的abcd（是先定義三角函式還是先定義引數化條件？見仁見智了）：
那麼矩陣 正好表示了逆時針旋轉 的旋轉變換。
回到一開始的問題上。單位圓和正方形的定義是不同的。那麼，存不存在某種「距離」，使得這種距離定義下的單位圓和正方形恰好是同一種圖形？
答案是存在的。而且（至少）有兩種不同的方法。
收到歐氏距離的啟發，我們希望在平面 上定義廣義的「距離」函式 。它需要滿足：
取值是非負實數（已經在值域上體現）
非退化性，即兩點距離為零時當且僅當它們重合：
對稱性，即
三角不等式，即
下面兩種距離函式就滿足如上條件：
而且它們對應的「單位圓」正好是正方形。
單位圓是正方形的距離， 和 ，和歐氏距離（記為 ）有哪些共同點，又有哪些區別呢？
乙個非常重要的共同點是，他們給出了平面 上乙個等價的拓撲，稱為歐式拓撲。
而乙個區別（和「單位方」有關聯）是，從平面 到平面 保持任意兩點間 (或 ）距離的對映比歐式變換少得多。實際上，我們可以證明，這樣的變換一定是平移變換和保持正方形對稱性的變換（ ，是乙個只有8個元素的離散群）的復合。實際上， 才是那個特殊的距離，它對應的變換群有流形結構，保證了很多有趣的幾何結構的存在性。
5樓：tone
畫單位圓在直角座標系中，圓心在原點。這樣，完美引出了sin(－a)和sin(2kπ+a)的值，使其有意義，而在三角形中度數只能0-180，無法延伸，有沒有實際意義。弧度定義，即是圓中三角形角a所對應的弧長除以半徑。
整圓周長2πr，半徑r，則整圓弧度規定為2π。先佔坑，後上圖。
三角函式的起源是什麼？為什麼要引入三角函式？
樸素的三角函式可能起源於對於三角形的觀察，比如sin a 對邊 斜邊 cos a 鄰邊 斜邊 近代的三角函式可能起源於對於單位圓的觀察，對於任意乙個圓心角a 以弧度記 其對應單位圓上的點的座標是 cos a,sin a 由此可以觀察到三角函式的週期性，sin a sin a 2k pi 為什麼要引入...
為什麼我三角函式不好？
Hover 理解三角函式的意義 其實高中更多的是把三角函式作為介紹週期性和建立聯絡 邊和角 的工具1.作為週期性 一般出現在小題，注意不同三角函式的影象，週期，取值範圍2.作為聯絡 主要是解三角形，兩個公式 正余弦 列出來，缺什麼找什麼，基本就解出來了 同時，上述二者都需要注意取值範圍 結合部分主要...
如何使用計算器計算三角函式 反三角函式？
電卓院亜紀良 使用計算器計算三角函式時，在角度制下，如果是度分秒形式的角度，對於CASIO的科學計算器而言，一般是按 輸入即可。例如計算 只需要先將計算器調整為角度制，然後按鍵 sin 63 52 41 然後按 即可 如果涉及連續的計算，有些計算器按 之前可能需要補括號 值得注意的是，在這種輸入方式...