1樓：
作為乙個普通高中生來回答這個問題，求輕噴。
先梳理一下關於單擺週期公式推導的前置條件：
牛頓第二定律： .
單擺在θ≤10°看作簡諧運動，單擺回覆力與位移滿足關係： .
微分方程的通解公式（如下圖，侵刪）：
已知這三個條件，推導就呼之欲出了。
記位移時間關係為 ，速度時間關係就是 ，回覆力時間關係就是 .
由條件1,2，有 ，即 .由條件3，特徵方程的根符合3)， ， ，得 ， 和 由具體情境有關.由三角函式知識可以知道， 為週期是 的週期函式，也即單擺週期為 .
2樓：正在解微分方程
首先是牛頓力學，建系，豎直方向為 水平方向為可列出分量牛二方程
(這才發現打公式好麻煩...
這個方程挺難解的，所以我們還有planB
我們可以引入廣義座標消去約束力 ,因為 對 莫得影響，，這樣我們就能消去乙個未知量
所以我們在垂直於繩子的方向列個牛二（成功避開 ）在 時，
上式可變為
即為單擺的運動方程，這玩意兒是個二階齊次線性微分方程列出特徵方程然後代到通解裡就好了
3樓：
設單擺擺長 ，重力加速度 ，在某一時刻繩與豎直方向夾角 (為了能夠近似)並且偏離平衡位置 。
對單擺進行受力分析，受到重力 和繩子的拉力 作用。分解 為互相垂直的 和 。由於偏離角度很小， 近似地和 抵消。所以此時合外力 。同理 可以近似地看作是直角三角形。
觀察上圖，由相似三角形 得到 ，又因為 ，所以 。這個式子中只有 是變數，且合外力與其成正比，所以單擺小球的運動符合簡諧振動的條件（ ）。在這種情況下對比以上兩式可以得到 。
由簡諧振動的週期公式 。
4樓：QVOXY
也是近似的，大角算不了
之前閒的沒事推著玩的，要是有大佬順便幫我看看。
把第一步給你補充一下，切向加速度mgsinθ，sinθ≈x/l，因為是回覆力所以F=-mgx/l
我是高中生也沒有系統學過微積分
5樓：
先畫個理想（小球質量均勻；不記一切摩擦阻力；不記繩子的質量，即輕繩）單擺實驗的示意圖吧
有一點，所有公式裡面的角度都是弧度制而不是角度制，弧度制的角度定義為：單位圓中圓心角所對應的弧長，任意半徑圓的弧度制公式為，單位為 ；例如： ； ； ； ； ；
單位時間內質點所轉過的角度定義角速度： ；
單位時間內質點所掃過的弧長定義為線速度： ；
由角速度和線速度關係可得：，為圓周運動的半徑；
圓周運動向心加速度： ；法向加速度： ；
牛頓第二定律：
下面開始進行分析：
在單擺實驗中，小球做圓周運動，對小球在B點的受力進行正交分解（自然座標系：沿圓心方向和切線方向進行正交分解）
圓心方向：
切線方向：
由於 ，
切線方向：
讓我們來解這個微分方程吧
這是乙個非線性微分方程不好解（其實就是我不會(￣▽￣)），但是我們可以做乙個近似處理就方便解決了：
當角比較小時，可以認為（弧長角所對的直角邊，其實就是泰勒公式展開式第一項）；當，，兩者相差僅有左右，這種系統誤差在一般低精度實驗下是可以忽略不計的
這時非線性微分方程可以變成乙個二階常係數齊次線性微分方程：
可以得到這個方程的通解為：
； 為振幅， 為初相
微分方程的特解可以由初始條件得到（時小球的運動狀態）
由三角函式的性質（ ）可得：
於是單擺的週期就得到了：
還有一點：
要是想得到任意角度下單擺的週期公式需要運用橢圓積分 o(╥﹏╥)o
很抱歉我不會，因為我還沒有學過啊啊啊啊(￣□￣；)
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