1樓：ZLXue
證明:反證法。假設存在最小正週期為c，則由最小正週期的性質易知:
1=m*c;pi=n*c (m,n都為正整數) 得出1/m=pi/n 可推得n=m*pi 因為pi為無理數，顯然，整數乘以無理數必為無理數，產生整數與無理數的矛盾。所以不存在最最小正週期。
2樓：sine
取,也就是的小數部分。因為是乙個週期，1也是週期，所以也是乙個週期。由於是無理數，所以裡所有元素都不相同（否則很容易推出是有理數）。
構成乙個中的序列。因為是緊的，所以存在收斂子列：。 但是所有都是週期，所以所有也都是週期。收斂序列都是柯西的，所以可以任意小。
這個構造方法可以證明如果乙個函式存在有理數和無理數的週期，那麼週期可以是無限小。
3樓：儷願
我只是從這個問題又想到乙個問題。
如下：是否存在這樣乙個既以某個有理數為週期又以某個無理數為週期的函式，如果有，請舉例，並求出這個函式的最小正週期。
4樓：
假設有，設其為P，則①np＝1，②mp＝π。②/①得:m/n＝π矛盾，假設不成立
之前想當然認為mn為整數。。。。
證明一下mn均為整數:
假設某週期函式f(x)存在乙個週期T，其不能被最小正週期p整除。則T可表示為T＝ap＋q。
即f(x)＝f(x＋ap)＝f(x＋ap＋q)令X＝x＋ap，則f(X)＝f(X＋q)
這與最小正週期為p矛盾
感謝@lixin liu 的證明
5樓：Bingyan Liu
考慮集合E=
E滿足如下性質
1.E在區間(0,1)上稠密（對於任何乙個無理數\alpha,均在(0,1)上稠密）
2.E的每乙個元素\alpha均可以表示為p+q\pi,其中p,q是整數
由2得E中每個元素均為f的週期（結合2與條件：1與\pi均為f的週期得），由1得E沒有最小元，
從而f沒有最小正週期
6樓：
這種題其實都可用Hurwitz's theorem (number theory)秒殺。
注意有無窮多組解， 即有無窮多組解。
注意一定是週期，即我們可以構造任意小的正週期。
7樓：Richard Xu
用類似輾轉相除的想法，
，其中是使得的最大整數。
數列顯然滿足：
1. 0" eeimg="1"/>（若不然，可推出是有理數，矛盾）2. （若不然，可以繼續減）
3. （若，那麼；若\fraca_" eeimg="1"/>，那麼）因此且0" eeimg="1"/>恆成立。
因為數列的每一項都是該函式的週期，所以不存在最小正週期。
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