1樓：
根據康托定理得到可數集的冪集與可數集不等勢。
顯然存在乙個單射，從而可數集的冪集是無窮的，無窮並且不是可數的，於是是不可數的。
康托定理的證明和羅素悖論有關。
2樓：Orion
看到樓上有人在證明自然數的冪集不可數，我也來湊個熱鬧。這個證明是我在馮琦的《數理邏輯導引》裡看到的，其實這就是康托爾的對角線法，但表達方法卻比小數形式的更容易理解。
試證：自然數的集合 的冪集 不可數。
假設 是從自然數集到其冪集的任意乙個對映。用反證法證明 不可能為滿射。考慮如下集合：
有結論：自然數的子集合 不在 的值域中。
假設不然，令 ，這個 顯然是存在的。現在的問題是：這個 是否在 中？
如果 ，由於 ，所以 ，但是集合 的定義告訴我們 。
如果 ，同樣因為 ，有 ，而這樣 又滿足了 的定義從而 。
所以無論 屬不屬於 ，我們都能匯出矛盾。所以結論： 一定成立。
這樣 便不可能是滿射，從而自然數的冪集 不可數。
3樓：予一人
這個問題相當於要證明：
自然數的冪集不可數。
今將給出乙個簡單的操作性證明。[1]由於自然數集可數，我們先將所有自然數從小到大依次排成一列：
設若 是 的乙個子集，這相當於從前述排列中取數作為元素來構造 考慮將這種「取法」隨之也就是將這子集 映成乙個 上的小數 這可以按如下手續實現：
整數部分一律取零；
在 中檢索前述排列中的每乙個數，如果這個數在 中，就在這個數下方記 相反，如果這個數不在 中，就記 ；
將這記下的數按其先後次序連線起來作為 的小數部分。
為了便於理解，我們舉乙個簡單的例項。比如，若 這裡我們已經將 中的元素從小到大排列整齊。[2]我們先寫下整數部分： 然後依次檢索排列中的每乙個數是否在 中：
於是寫下
於是寫下
於是寫下
於是寫下
於是寫下
由此，我們得到
不難看出，對映 是雙射，於是 的冪集就與 上的小數集等勢，但我們知道後者是不可數集，它與實數集等勢，基數同為 [3]由此，結論得證。
可數集的子集都是可數集嗎，如何證明？
Ligeia 題目應該是證明可數集的無限子集都是可數集嚴格證明就是以下 把可數集寫為sequence of distinct terms設定子集E裡最小序數的元素 有最小可以用lub property說明 選擇公理與數學歸納法構建子集序數的良序集 就能定義乙個f N E 明顯是雙射 1.滿射，用gl...
如何證明 實數的所有有限 無限序列集與實數集 等勢
首先證明，對任意的基數a b c，a b c a b c 這根據基數指數和乘法運算的定義是容易證明的。於是有 2 aleph 0 aleph 0 2 aleph 0 aleph 0 2 aleph 0。同理 2 aleph 0 n 2 aleph 0 n 2 aleph 0。其中 aleph 0是自...
任意乙個實數集的不可數子集的「二元整係數線性組合」是否一定能覆蓋整個實數集？
不能。如果用選擇公理就比較簡單，但是想構造乙個具體的例子還蠻有趣的。乙個具體的例子如下。記A 這裡面我們說乙個十進位制小數 0.a 1a 2.幾乎全是0，是說 m 1.容易驗證A是R的Q子空間。任意給你乙個小數 0.a 1a 2a 3.我們可以對應到乙個A中的數 0.a 10a 200a 3000....