1樓：
首先證明，對任意的基數a、b、c，(a^b)^c=a^(b*c)。這根據基數指數和乘法運算的定義是容易證明的。
於是有(2^\aleph_0)^\aleph_0=2^(\aleph_0*\aleph_0)=2^\aleph_0。
同理(2^\aleph_0)^n=2^(\aleph_0*n)=2^\aleph_0。
其中\aleph_0是自然數集的勢，所以2^\aleph_0就是實數集的勢。
2樓：hhh
可以證明:
實數所有有限/無限序列集與有理數的冪集等勢。
把實數列的數都寫成二進位制，每個數列用有理數的子集一一對應，第n個數對應分母為n的有理數，若是正數，則對應分子是奇數的有理數，第n個數中，若第m位是1，對應於該(2m+1)/n存在於此集合中。若第m位是0，對應於該(2m+1)/n不存在於此集合中。
對於出現負數，則對應於分子是偶數的有理數，第m位是1，對應於2m/n出現在此集合中。
比如數列(1/2，1/4，1/8，1/16)寫成2進製是(0.1，0.01，0.001，0.0001)對應於有理數子集
數列寫成二進位制是
對應於數列
寫成二進位制是
對應於於是可得有限/無限實數列與有理數冪集的一一對應。因為有理數與自然數是等勢的。
所以有限，無限實數列均與實數等勢。
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