1樓：GAGA
全序集合在保序嵌入下構成乙個範疇
全序集合A 的子集X 的上界M 是指M大於等於X成立，M是A中元素
上確界SupX 是指這樣乙個元素，它滿足如下泛性質：它是上界，並且任給上界M 均大於等於SupX
SupX如果存在，必唯一
同樣可以定義X的下界和下確界InfX
乙個全序集合A 稱為完備的，是指任給有上界子集X，SupX存在，有下界子集Y，InfY存在。
任給全序集合A 可以定義其完備化A*如下，即：
1.A*是完備的，且A到A*存在保序嵌入。
2.任給B 為完備全序集合，任給A到B的保序嵌入，存在A*到B的保序嵌入使得圖表交換。
如果A*存在，必在保序同構下唯一
A*的存在性：向A中所有不完備有界子集X添入InfX和SupX，模去以下關係：SupX=SupY當且僅當X的上界集合=Y的上界集合 InfX=InfY當且僅當X的下界集合=Y的下界集合 SupX=InfY當且僅當X的上界集合包含Y 且Y的下界集合包含X
實數域R的完備性
我們承認Q的完備化為R，並且其為域。
任給有序阿基公尺德域K，其必包含Q，並且滿足如下性質:任給y，存在p，q屬於Q使得py｝在R中存在下界，因而存在下確界Inf。
上確界和下確界根據完備化的構造，是相等的，並且為實數。該數記作y/1，現在定義對映f ：K到R，y映到y/1，容易驗證這是保序嵌入，由R完備，根據完備化的泛性質，假定K的完備化為F，則存在F到R的嵌入。
另一方面，K包含Q，所以其完備化F 必然包含R，從而，F到R不僅是嵌入，還是保序同構。而且容易看出其是有序域的同構。
到此，我們證明了，任給有序阿基公尺德域K，它的完備化域總是保序同構於R。
其實本質是：
1.K包含Q
2.Q有戴德金分割，K秩1（阿基公尺德性質）
3.完備化的泛性質
2樓：
標準分析實數的完備性等價於歐幾里得幾何的直線沒有「空隙」，這句話在非標準分析模型看來卻是錯的，因為存在非常多的實數不在標準分析的實數軸上，它們在非標準分析的實數軸上，也就是標準分析的歐幾里得幾何的直線上到處都有空隙，那些空隙上的實數可能對應著物理上的暗物質。
為什麼會存在很多實數不在標準分析的實數軸上，而且這些實數是標準分析無法構造出來的呢？這事要從自然數的構造說起，非標準分析模型認為自然數的構造不只是進行了自然數的無限構造，還同時進行了自然數的極限與無窮構造。也就是兩種分析對歸納法的認識不一樣：
一種認為自然數集只進行無限構造；另一種認為自然數集同時進行了無限、極限和無窮構造。這裡出現了反證法不能跨不同層面的系統亂用。[1][2]
3樓：鍵山怜奈
我沒有理解為什麼樓上的證法要繞原路，可能只是我沒理解，但是我覺得簡單的證法是這樣的：
反設有 ，那麼 根據阿基公尺德性可知非空有上界，於是不妨設上確界為 ，那麼無論 或是 x" eeimg="1"/>，二者之間都沒有另乙個實數，於是 對任意 成立（加法不等式），反之 n" eeimg="1"/>對任意 成立，這與阿基公尺德性矛盾。
至於所有極大的阿基公尺德序域是否彼此同構。假設乙個阿基公尺德域 不完備，那麼存在乙個集合， r" eeimg="1"/>對某個 成立而 沒有下確界，那麼 構成了非空下有界集合。
規定 中的序滿足 當且僅當對於任意 0" eeimg="1"/>總存在 0" eeimg="1"/>使得 對所有 成立，但是， 的含義是：
.由有理數的稠密性和多項式的連續性，我們知道上述定義是良好的，具體地說：
假設 ，那麼存在 0" eeimg="1"/>，對任意 0" eeimg="1"/>，存在 ，滿足 但是 .
我們假設 ，那麼
特別地，當 時存在某個 0" eeimg="1"/>使得 .
不妨假設 .於是，當 時，有 構成柯西網，這說明存在乙個 0" eeimg="1"/>，當 時恒有 ，於是 對所有 成立，這也就證明了 .
用類似的方法，也可以借助乘法和加法的連續性證明 構成序域，因此 不具有極大性。綜上，所有極大阿基公尺德序域都是完備的，彼此同構。
4樓：LLjpcz
各位去看令奈的回答吧，比我更簡潔的證明了極大性，還把最大性這證明了。我的回答太菜了QAQ
分割線題目描述裡，提到的命題「 的任意域擴張，如果還是阿基公尺德域，那麼這個擴充套件就是 本身」，把這個性質叫做 「是最大的阿基公尺德域」不太合適。更合適的說法是「是極大的阿基公尺德域」。
以上這個命題感覺算得上是trivial的，還是寫一下證明吧。
考慮 的域擴張 是乙個阿基公尺德域。
我們來證明 。
，我們來證明 。
由於是阿基公尺德域，存在 ，使得 。
考慮集列 a\right\}" eeimg="1"/>，由於是阿基公尺德域，非空。由於，有下確界。
我們設 ， ，立即得 。
注意到對任意 和 。
a\Rightarrow\frac}>a\Rightarrow2x\in A_\Rightarrow2x\geq\rm inf\emph A_+1}\" eeimg="1"/>
。記 為上取整函式。注意到對任意 和 。
a\Rightarrow\lceil\frac\rceil\in A_n\Rightarrow\lceil\frac\rceil\geq\rm inf\emph A_\emph n" eeimg="1"/>
。這意味著對任意 ，成立 。
而 。由閉區間套定理知，存在唯一的實數 ，使得對任意 ， 。
記 為 上的絕對值函式，即 。
設 ，如果 ，則 。
考慮 ，由 是阿基公尺德域知存在 ，使得 1" eeimg="1"/>，從而 \frac" eeimg="1"/>。
令 ，則由 知，
。矛盾！
終上所述， 是極大的阿基公尺德域。
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