1樓：文睿
理解為 在 上生成的環，記 為 。
考慮對映：
是乙個滿的環同態。於是有
是 ， ，於是 ， 。
若 可約， ，
不妨設, 與 矛盾。
因此 是不可約多項式，因此 是極大理想，因此 是域
2樓：
現在手機碼字不方便打公式。
首先有個結論，若F是個域，a是（乙個比F更大的域上）F上某個多項式的根，那麼F[a]是域。事實上F[a]還是包含F和a的最小的域。
F[a]交換么環、無零因子都是顯然的。只差一條，所有非零元素可逆。
a是某個多項式的根，那麼把這個多項式看看能不能因式分解，分到最後全是素多項式，必然有乙個素多項式的根含有a。這個多項式記為p(x)。注意它每個係數都在F中。
好了，下面F[a]中任意拿出個非零元素，咱證明它可逆。這個元素必能寫成f(a)，其中f(x)每個係數也在x中。且因為f(a)≠0，所以f(x)和p(x)互素（不整除只能互素）。
於是存在q(x)、r(x)使q(x)f(x)+r(x)p(x)=1。說實話這個定理的證明略煩，但是不難。高等代數裡講最大公因數那一塊會講。
於是q(a)f(a)+r(a)p(a)=1。注意p(a)=0。所以q(a)是f(a)的逆元。
3樓：吃月亮的人
記 ，顯然有 有么元且是 環.
那接下來只需要證明 ， 有乘法逆元即可，這可以直接待定係數得到.
接下來提供乙個更代數的解法：
顯然有 .
其中 是 在 上的極小多項式.
由於 是有單位元的交換環，故它是域等價於 是主理想.
也就等價於為 上的不可約多項式 ( 的性質).
不難得到
那麼不可約是顯然的（艾森斯坦判別法取 即可）.
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